Resolva as equações lineares de primeira ordem usando o método do fator integrante.
d yd x+y=e^3 x -infty

Passo 1

Aqui a gente tem uma equação diferencial linear de primeira ordem no formato y'+P(x)y=Q(x), onde P(x)=1 e Q(x)=e^3x. O conteúdo é o método do fator integrante para resolver essa EDO.

Passo 2

O fator integrante mu(x) é definido por mu(x)=e^integral P(x),dx. Como P(x)=1, temos mu(x)=e^integral1,dx=e^x.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por mu(x)=e^x. Isso nos dá:
e^xdydx+e^x y=e^x e^3x=e^4x
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^x y. Podemos então escrever
ddxl(e^x yr)=e^4x
A seguir, integramos ambos os lados em relação a x. Integrando, obtemos
e^x y=integral e^4x,dx=14e^4x+C,
onde C é a constante de integração. Depois basta isolar y. Isolando y, temos
y=e^-xl(tfrac14e^4x+Cr)=tfrac14e^3x+C e^-x

Resposta

A solução geral é y(x)=tfrac14e^3x+C e^-x.

Exercícios relacionados