Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L
  1. lim x 2 x^2-4 x+4x^2-x-2
  2. lim x -1 x^2-1x^2+4 x+3
  3. lim x 0 x^2+6 xx^3+7 x^2+5 x
  4. lim x 1 / 2 2 x^2+x-14 x^2-4 x+1
  5. lim x 3 6-2 x+3 x^2-x^3x^4-3 x^3-x+3
  6. lim x -1 x+12 x^4+2 x^3+3 x^2+2 x-1
  7. lim x +infty x^2-6 x+7x^3+7 x-1
  8. lim x -infty 5-5 x^32-2 x^3
  9. lim x +infty 7 x^5-64 x^2-2 x+4
  10. lim x +infty 5-x+x^22-x-2 x^2
  11. lim x +infty e^xx^2

Passo 1

Resumo do enunciado: vamos calcular 11 limites usando regras de L’Hôpital e transformações algébricas. O conteúdo envolve identificação de formas indeterminadas 0/0 e ∞/∞, fatoração, simplificação e, quando necessário, aplicação da regra de L’Hôpital.

Passo 2

Para limxto 2dfracx^2-4x+4x^2-x-2: fatoramos
x^2-4x+4=(x-2)^2
x^2-x-2=(x-2)(x+1)
Após simplificar x-2, o limite reduz a x-2x+1 e, substituindo x=2, obtemos 0.

Passo 3

Para limxto -1dfracx^2-1x^2+4x+3: fatoramos
x^2-1=(x-1)(x+1)
x^2+4x+3=(x+1)(x+3)
Cancelando x+1, o limite vira x-1x+3 e, em x=-1, dá -1.

Passo 4

Para limxto 0dfracx^2+6xx^3+7x^2+5x: fatoramos x
x^2+6x=x(x+6),
x^3+7x^2+5x=x(x^2+7x+5)
Cancelando x, obtemos x+6x^2+7x+5 e, em x=0, dá 6/5.

Passo 5

Para limxto tfrac12dfrac2x^2+x-14x^2-4x+1: fatoramos
2x^2+x-1=(2x-1)(x+1),
4x^2-4x+1=(2x-1)^2
Simplificando, fica x+12x-1. Como ao aproximar xtotfrac12 o numerador tende a 3/2>0 e o denominador a 0 mudando de sinal, a expressão diverge: tende a +infty por um lado e -infty pelo outro, logo não há limite finito.

Passo 6

Para limxto 3dfrac6-2x+3x^2-x^3x^4-3x^3-x+3: note que numerador e denominador são zero em x=3. Fatores:
6-2x+3x^2-x^3=-(x-3)(x^2+2),
x^4-3x^3-x+3=(x-3)(x^3-1)=(x-3)(x-1)(x^2+x+1)
Cancelando x-3, o limite é
-x^2+2(x-1)(x^2+x+1)
em em x=3 -11/26).

Passo 7

Para limxto -1dfracx+12x^4+2x^3+3x^2+2x-1: forma 0/0, aplicamos L’Hôpital:
Derivada do numerador: 1. Derivada do denominador: 8x^3+6x^2+6x+2. Em x=-1: 8(-1)^3+6(-1)^2+6(-1)+2=-6. Logo o limite é 1/(-6)=-1/6.

Passo 8

Para limxto+inftydfracx^2-6x+7x^3+7x-1: grau 2 sobre 3, a fração tende a 0.

Passo 9

Para limxto-inftydfrac5-5x^32-2x^3: dividimos por x^3 e obtemos (-5)/( -2)=5/2.

Passo 10

Para limxto+inftydfrac7x^5-64x^2-2x+4: grau 5 sobre 2, tende a +infty.

Passo 11

Para limxto+inftydfrac5-x+x^22-x-2x^2: grau 2 sobre 2, razão dos coeficientes principais 1/(-2)=-1/2.

Passo 12

Para limxto+inftydfrace^xx^2: exponencial domina polinomial, tende a +infty.

Resposta

  1. 0; 2) -1; 3) 6/5; 4) não existe (±∞); 5) -11/26; 6) -1/6; 7) 0; 8) 5/2; 9) +∞; 10) -1/2; 11) +∞

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