Resolva as equações lineares usando o fator integrante. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida, se for o caso:
Passo 1
O exercício é uma equação diferencial linear de primeira ordem do tipo
com
e
. Vamos usar o método do fator integrante, que exige calcular
.
Passo 2
Calculemos o fator integrante:
Passo 3
Multiplique toda a equação original por
. Isso dá:
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
Passo 4
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Portanto
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Isolando
:
Agora aplicamos a condição inicial
:
Então a solução particular é
Passo 6
Como usamos
como fator integrante, precisamos de
. Como a condição inicial está em
, escolhemos o intervalo de definição
Resposta
A solução que satisfaz
com
é
definida para
.