Resolva as equações lineares usando o fator integrante. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida, se for o caso: y^prime+tg(x) y=cos ^2(x) com y(0)=-1

Passo 1

O exercício é uma equação diferencial linear de primeira ordem do tipo y'+p(x)y=q(x) com p(x)=tan(x) e q(x)=cos^2(x). Vamos usar o método do fator integrante, que exige calcular mu(x)=e^integral p(x),dx.

Passo 2

Calculemos o fator integrante:
mu(x)=expgl(integraltan(x),dxgr)=expl(-ln|cos(x)|r)=1cos(x)

Passo 3

Multiplique toda a equação original por mu(x)=sec(x). Isso dá:
sec(x)y'+sec(x)tan(x)y=sec(x)cos^2(x)=cos(x)
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto ysec(x), pois
ddxl(ysec(x)r)=y'sec(x)+ysec(x)tan(x)

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integralddxl(ysec(x)r),dx=integralcos(x),dx
Portanto
ysec(x)=sin(x)+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y:
y(x)=cos(x)l(sin(x)+Cr)=sin(x)cos(x)+Ccos(x)=tfrac12sin(2x)+Ccos(x)
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=-1:
y(0)=tfrac12sin(0)-C= -1implies -C=-1implies C=-1
Então a solução particular é
y(x)=tfrac12sin(2x)-cos(x)

Passo 6

Como usamos sec(x) como fator integrante, precisamos de cos(x)neq0. Como a condição inicial está em x=0, escolhemos o intervalo de definição
-tfracpi2

Resposta

A solução que satisfaz y'+tan(x)y=cos^2(x) com y(0)=-1 é
y(x)=tfrac12sin(2x)-cos(x),
definida para -tfracpi2.

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