Resolva as equações lineares usando o fator integrante. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida, se for o caso: (1-x^3) d yd x=3 x^2 y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial linear e precisa resolver usando o fator integrante. O enunciado é: . Para resolver isso, vamos precisar entender equações diferenciais lineares e como aplicar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão de uma equação linear. A forma padrão é:
dydx + P(x) y = Q(x)
Então, vamos dividir ambos os lados da equação original por dydx = 3x^21 - x^3 y para isolar dydx + ( -3x^21 - x^3 ) y = 0 :
Agora, podemos reescrever isso como:
Aqui, identificamos e .

Passo 3

O próximo passo é encontrar o fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx , que nos ajuda a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
mu(x) = e^integral -3x^21 - x^3 dx
Substituindo :

Passo 4

Vamos calcular a integral no expoente. Para isso, fazemos uma substituição:
Seja integral -3x^21 - x^3 dx = integral duu = ln|u| + C = ln|1 - x^3| + C , então mu(x) = e^ln|1 - x^3| = |1 - x^3| . A integral fica:
mu(x) = 1 - x^3
Então, o fator integrante é:
Para simplificar, assumimos que , então:

Passo 5

Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
(1 - x^3) dydx + ( - 3x^21 - x^3 )(1 - x^3) y = 0
Simplificando:
(1 - x^3) dydx - 3x^2 y = 0
Isso pode ser reescrito como:
ddx [ y cdot (1 - x^3) ] = 0

Passo 6

Integrando ambos os lados:
y cdot (1 - x^3) = C
Onde y = C1 - x^3 é a constante de integração. Resolvendo para :

Passo 7

Agora, precisamos especificar o intervalo onde a solução é válida. Observamos que o denominador não pode ser zero, ou seja, ou . Portanto, a solução é válida em qualquer intervalo que não inclua .

Resposta

A solução geral da equação é , válida para todo intervalo onde .

Exercícios relacionados