Resolva as equações lineares usando o fator integrante. Especifique um intervalo no qual a solução geral é definida, se for o caso:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial linear e precisa resolver usando o fator integrante. O enunciado é:
. Para resolver isso, vamos precisar entender equações diferenciais lineares e como aplicar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, vamos deixar a equação na forma padrão de uma equação linear. A forma padrão é:
Então, vamos dividir ambos os lados da equação original por
para isolar
:
Agora, podemos reescrever isso como:
Aqui, identificamos
e
.
Passo 3
O próximo passo é encontrar o fator integrante
, que nos ajuda a resolver a equação. O fator integrante é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Vamos calcular a integral no expoente. Para isso, fazemos uma substituição:
Seja
, então
. A integral fica:
Então, o fator integrante é:
Para simplificar, assumimos que
, então:
Passo 5
Multiplicamos a equação original pelo fator integrante:
Simplificando:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 6
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração. Resolvendo para
:
Passo 7
Agora, precisamos especificar o intervalo onde a solução é válida. Observamos que o denominador
não pode ser zero, ou seja,
ou
. Portanto, a solução é válida em qualquer intervalo que não inclua
.
Resposta
A solução geral da equação é
, válida para todo intervalo onde
.