Resolva o seguinte problema de valor inicial
x^prime=-3 x+y, y^prime=-5 x+3 y, x(0)=2, y(0)=-1

Passo 1

O problema é um sistema de equações diferenciais lineares de ordem 1 com coeficientes constantes: temos x'= -3x + y, y'= -5x + 3y e as condições iniciais x(0)=2, y(0)=-1. Para resolver, vamos usar o método de autovalores e autovetores da matriz de coeficientes.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial x' = Ax, onde x=xy e
A = -3 & 1 -5 & 3

Passo 3

Para encontrar os autovalores, resolvemos det(A - lambda I)=0:
det-3-lambda & 1 -5 & 3-lambda = (-3-lambda)(3-lambda) +5 = lambda^2 -4 =0

Passo 4

Logo, os autovalores são lambda1 = 2 e lambda2 = -2.

Passo 5

Agora achamos os autovetores: para lambda1=2,
(A -2I)v=0 implies -5 & 1 -5 & 1v=0 Rightarrow v1 = 15

Passo 6

Para lambda2=-2,
(A +2I)v=0 implies -1 & 1 -5 & 5v=0 Rightarrow v2 = 11

Passo 7

A solução geral do sistema é
x(t) = C1 e^2t 15 + C2 e^-2t 11

Passo 8

Usamos t=0 e x(0) = (2,-1)^T para achar C1 e C2:
C1 + C2 = 2, 5C1 + C2 = -1
Subtraindo as equações, 4C1 = -3 C1 = -3/4 e então C2 = 2 - C1 = 11/4.

Resposta

x(t) = -tfrac34e^2t + tfrac114e^-2t, y(t) = -tfrac154e^2t + tfrac114e^-2t

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