Resolva o seguinte problema de valor inicial
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear homogêneo de valor inicial
x′=5x−y,
y′=3x+y,
com x(0)=0 e y(0)=1. O conteúdo é sistemas lineares com coeficientes constantes, e vamos usar autovalores e autovetores da matriz do sistema.
x′=5x−y,
y′=3x+y,
com x(0)=0 e y(0)=1. O conteúdo é sistemas lineares com coeficientes constantes, e vamos usar autovalores e autovetores da matriz do sistema.
Passo 2
Primeiro escrevemos o sistema em forma matricial X′=A X com
onde X=(x,y)ᵀ.
Passo 3
Para encontrar os autovalores λ de A, montamos o polinômio característico
As raízes são λ₁=2 e λ₂=4.
Passo 4
Agora achamos autovetores. Para λ₁=2, resolvemos (A-2I)v=0:
Isso dá 3x−y=0 ⇒ y=3x, escolhemos v₁=(1,3)ᵀ. Para λ₂=4, (A-4I)v=0:
Isso dá x−y=0 ⇒ y=x, escolhemos v₂=(1,1)ᵀ.
Passo 5
A solução geral do sistema é
Passo 6
Aplicando as condições iniciais em t=0:
Resolvendo: da primeira C₂=−C₁, substituindo na segunda 3C₁−C₁=1 ⇒ 2C₁=1 ⇒ C₁=1/2, C₂=−1/2.
Passo 7
Substituindo C₁ e C₂ na solução geral, obtemos
Resposta
x(t)=\tfrac12e{2t}-\tfrac12e{4t}, y(t)=\tfrac32e{2t}-\tfrac12e{4t}