Resolva o seguinte problema de valor inicial
x^prime=5 x-y, y^prime=3 x+y, x(0)=0, y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear homogêneo de valor inicial
x′=5x−y,
y′=3x+y,
com x(0)=0 e y(0)=1. O conteúdo é sistemas lineares com coeficientes constantes, e vamos usar autovalores e autovetores da matriz do sistema.

Passo 2

Primeiro escrevemos o sistema em forma matricial X′=A X com
A=5 & -13 & 1,
onde X=(x,y)ᵀ.

Passo 3

Para encontrar os autovalores λ de A, montamos o polinômio característico
det(A-λI)=det5-λ & -13 & 1-λ=(5-λ)(1-λ)+3=λ^2-6λ+8=0
As raízes são λ₁=2 e λ₂=4.

Passo 4

Agora achamos autovetores. Para λ₁=2, resolvemos (A-2I)v=0:
3 & -13 & -1xy=0
Isso dá 3x−y=0 ⇒ y=3x, escolhemos v₁=(1,3)ᵀ. Para λ₂=4, (A-4I)v=0:
1 & -13 & -3xy=0
Isso dá x−y=0 ⇒ y=x, escolhemos v₂=(1,1)ᵀ.

Passo 5

A solução geral do sistema é
X(t)=C1e^2t13+C2e^4t11

Passo 6

Aplicando as condições iniciais em t=0:
x(0)=C1+C2=0, y(0)=3C1+C2=1
Resolvendo: da primeira C₂=−C₁, substituindo na segunda 3C₁−C₁=1 ⇒ 2C₁=1 ⇒ C₁=1/2, C₂=−1/2.

Passo 7

Substituindo C₁ e C₂ na solução geral, obtemos
x(t)=tfrac12e^2t-tfrac12e^4t, y(t)=tfrac32e^2t-tfrac12e^4t

Resposta

x(t)=\tfrac12e{2t}-\tfrac12e{4t}, y(t)=\tfrac32e{2t}-\tfrac12e{4t}

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