Resolva as equações:
\log _{\frac{4}{3}}\left(4 x^{2}+13 x+2\right)=\log _{\frac{4}{3}}(2 x+5)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\log_{\frac{4}{3}}\!\bigl(4x^{2}+13x+2\bigr) = \log_{\frac{4}{3}}\!(2x+5).
Este problema usa a propriedade de logaritmos de mesma base maior que 1:
se \log_{b}(A)=\log_{b}(B) com b>1, então A=B, desde que A>0 e B>0.

Passo 2

Pelos argumentos dentro dos logaritmos, precisamos ter
4x^{2}+13x+2>0 \quad\text{e}\quad 2x+5>0.
Mas, ao igualar os argumentos, a condição 2x+5>0 garantirá também 4x^{2}+13x+2>0 no ponto de solução. Então, primeiro igualamos:
4x^{2}+13x+2 = 2x+5.

Passo 3

Subtraindo 2x+5 de ambos os lados, obtemos a equação quadrática
4x^{2}+13x+2 - (2x+5) = 0 \;\Longrightarrow\; 4x^{2}+11x-3 = 0.
O discriminante é
\Delta = 11^{2} - 4\cdot4\cdot(-3) = 121+48 = 169,
logo as raízes são
x = \frac{-11 \pm \sqrt{169}}{2\cdot4} = \frac{-11 \pm 13}{8},
isto é,
x_{1} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}, \qquad x_{2} = \frac{-24}{8} = -3.

Passo 4

Agora verificamos o domínio 2x+5>0, que dá
2x+5>0 \;\Longrightarrow\; x > -\frac{5}{2}.
Dentre as raízes, apenas x=\tfrac{1}{4} satisfaz x>-\tfrac{5}{2}. Além disso,
4\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)^{2}+13\bigl(\tfrac{1}{4}\bigr)+2 =4\cdot\tfrac{1}{16}+ \tfrac{13}{4}+2 >0,
então está tudo certo.

Resposta

A única solução é
x = \frac{1}{4}.

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