Resolva as equações:
\log _{\frac{1}{2}}\left(3 x^{2}-4 x-17\right)=\log _{\frac{1}{2}}\left(2 x^{2}-5 x+3\right)

Passo 1

O enunciado pede para resolver
\log_{\frac{1}{2}}\bigl(3x^{2}-4x-17\bigr) = \log_{\frac{1}{2}}\bigl(2x^{2}-5x+3\bigr).
O conteúdo envolve logaritmos de base a=\tfrac12, que é uma função estritamente decrescente, e a condição de domínio exige que os argumentos sejam positivos.

Passo 2

Usamos a propriedade de injetividade do logaritmo: para qualquer base a>0 com a\neq1,
\log_{a}(u)=\log_{a}(v) \quad\Longleftrightarrow\quad u=v.
Mesmo sendo a=\tfrac12<1, continua valendo que se dois logaritmos são iguais, seus argumentos também o são. Assim, igualamos
3x^{2}-4x-17 = 2x^{2}-5x+3.

Passo 3

Reescrevendo a equação obtida:
3x^{2}-4x-17 - (2x^{2}-5x+3) = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^{2}+x-20=0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = 1^{2} -4\cdot1\cdot(-20)=1+80=81,
logo as raízes são
x = \frac{-1 \pm \sqrt{81}}{2} = \frac{-1 \pm 9}{2},
isto é,
x_{1}=4, \quad x_{2}=-5.

Passo 4

Verificamos o domínio, exigindo
3x^{2}-4x-17>0 \quad\text{e}\quad 2x^{2}-5x+3>0.
Para x=4:
3\cdot16-16-17=15>0, \quad 2\cdot16-20+3=15>0.
Para x=-5:
3\cdot25+20-17=78>0, \quad 2\cdot25+25+3=78>0.
Portanto, ambas as soluções são válidas.

Resposta

\,x=-5 ou \,x=4

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