Resolva as equações logarítmicas:
Passo 1
O enunciado fornece a equação
e pede para encontrar todos os valores de
que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes dadas: o argumento do logaritmo é
(já positivo) e a base do logaritmo é
. Ainda não resolvemos nada — só identifiquei o que é pedido e os dados.
Passo 2
Vou lembrar a definição de logaritmo de forma bem clara e prática: a igualdade
significa exatamente que
Aqui
é a base do logaritmo (deve satisfazer
e
),
é o argumento (deve ser
) e
é o resultado do logaritmo. Essa é a regra que usamos para “tirar” o logaritmo e virar uma potência.
Passo 3
Aplicando essa definição à nossa equação
, obtemos a equivalência em potência:
Passo 4
Agora resolvemos a equação em potência. Temos uma equação quadrática em termo de
:
Isso gera duas candidatas:
Passo 5
Temos que checar as restrições do logaritmo para não aceitar soluções extranhas. Lembre-se: a base da função logaritmo
precisa satisfazer
A condição
equivale a
. Verificando as candidatas:
- Para
: , que é e diferente de . Então é uma solução válida. - Para
: , que é negativo, portanto não pode ser base de logaritmo. Logo é extranha e deve ser descartada.
O argumento
já era positivo, então não provoca restrição adicional.
Passo 6
Conferindo substituindo na equação original: para
a base é
e de fato
porque
. Tudo bate certinho.