Resolva as equações logarítmicas:
\log _{x-3} 9=2

Passo 1

O enunciado fornece a equação
\log_{x-3} 9 = 2
e pede para encontrar todos os valores de x que satisfazem essa igualdade. Informações relevantes dadas: o argumento do logaritmo é 9 (já positivo) e a base do logaritmo é x-3. Ainda não resolvemos nada — só identifiquei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Vou lembrar a definição de logaritmo de forma bem clara e prática: a igualdade
\log_{a} b = c
significa exatamente que
a^{c} = b.
Aqui a é a base do logaritmo (deve satisfazer a>0 e a\neq1), b é o argumento (deve ser b>0) e c é o resultado do logaritmo. Essa é a regra que usamos para “tirar” o logaritmo e virar uma potência.

Passo 3

Aplicando essa definição à nossa equação \log_{x-3} 9 = 2, obtemos a equivalência em potência:
(x-3)^{2} = 9.

Passo 4

Agora resolvemos a equação em potência. Temos uma equação quadrática em termo de x-3:
(x-3)^{2}=9 \Longrightarrow x-3= \pm 3.
Isso gera duas candidatas:
x-3=3 \quad\Rightarrow\quad x=6,
x-3=-3 \quad\Rightarrow\quad x=0.

Passo 5

Temos que checar as restrições do logaritmo para não aceitar soluções extranhas. Lembre-se: a base da função logaritmo x-3 precisa satisfazer
x-3>0 \quad\text{e}\quad x-3\neq1.
A condição x-3>0 equivale a x>3. Verificando as candidatas:
  • Para x=6: x-3=3, que é >0 e diferente de 1. Então x=6 é uma solução válida.
  • Para x=0: x-3=-3, que é negativo, portanto não pode ser base de logaritmo. Logo x=0 é extranha e deve ser descartada.
O argumento 9 já era positivo, então não provoca restrição adicional.

Passo 6

Conferindo substituindo na equação original: para x=6 a base é 6-3=3 e de fato \log_{3}9=2 porque 3^{2}=9. Tudo bate certinho.

Resposta

x=6

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