1. (MACK) Se 2^{m}=3, então \log _{2} 54 é igual a:
    a) 2 m+3
    b) 3 m+1
    c) 6 m
    d) m+6
    e) m+3

Passo 1

O enunciado dá a informação 2^{m}=3 e pede para calcular \log_{2}54. As alternativas são:
a) 2 m+3
b) 3 m+1
c) 6 m
d) m+6
e) m+3

Passo 2

Vou lembrar o que é logaritmo de maneira direta e simples: se tenho uma igualdade da forma a^{b}=c, então por definição o logaritmo de c na base a é o expoente b. Ou seja,
\text{se }a^{b}=c\text{ então }b=\log_{a}c.ã
Aqui a é a base do logaritmo, c é o número cujo logaritmo queremos, e b é o resultado (o expoente). Exemplo rápido: como 2^{3}=8, temos \log_{2}8=3.

Passo 3

Aplicando a definição ao dado do enunciado 2^{m}=3, obtemos diretamente
m=\log_{2}3.
Isso significa que sempre que aparecer \log_{2}3 podemos substituir por m.

Passo 4

Agora escrevo 54 em fatores que envolvam 2 e 3, porque a relação dada envolve essas bases. Faço a fatoração:
54 = 2 \cdot 27 = 2 \cdot 3^{3}.

Passo 5

Vou usar duas propriedades fundamentais dos logaritmos (que precisam ser lembradas e que eu explico rapidinho):
  • Produto: \log_{a}(xy)=\log_{a}x+\log_{a}y. Intuição: multiplicar números corresponde a somar expoentes na base a.
  • Potência: \log_{a}(x^{k})=k\log_{a}x. Intuição: elevar a potência traz o expoente para fora do logaritmo.
Exemplo ilustrativo: \log_{2}(8\cdot 4)=\log_{2}8+\log_{2}4=3+2=5, e realmente 8\cdot4=32=2^{5}.

Passo 6

Aplico as propriedades ao nosso caso:
\log_{2}54=\log_{2}\bigl(2\cdot 3^{3}\bigr)=\log_{2}2+\log_{2}3^{3}.
Pela propriedade da potência,
\log_{2}3^{3}=3\log_{2}3.
Além disso \log_{2}2=1. Juntando tudo:
\log_{2}54=1+3\log_{2}3.

Passo 7

Substituo \log_{2}3 por m (veja o Passo 3):
\log_{2}54=1+3m=3m+1.
Isso corresponde exatamente à alternativa (b).

Resposta

b) 3 m+1

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