Resolva as equações logarítmicas:
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação
Informações dadas e condições que devemos lembrar:
- A equação envolve logaritmos com bases
e . - Os argumentos dos logaritmos devem ser positivos. Portanto devemos ter
Estas desigualdades serão usadas depois para checar quais soluções são válidas.
Passo 2
Vamos transformar todos os logaritmos para a mesma base para trabalhar mais facilmente. Lembre que a fórmula de mudança de base é
ou seja, podemos escrever um logaritmo em qualquer base usando outra base que preferirmos. Aqui é natural usar a base
, pois
é potência de
(
).
Passo 3
Aplicando mudança de base a
com base
, obtemos
Como
, isso dá
Passo 4
Substituindo na equação original, ficamos com termos na mesma base:
Multiplicando toda a equação por
(operação válida) para eliminar frações:
Passo 5
Usamos agora propriedades básicas dos logaritmos. Primeiro, a propriedade da potência:
Aplicando com
,
,
:
Substituindo, a equação vira
Passo 6
Outra propriedade útil é a diferença de logaritmos:
válida quando
e
. Aplicando:
Observe que a validade dessa transformação exige
e
; já tínhamos as condições de positividade a considerar.
Passo 7
Agora “deslogaritmamos”: se
então
(porque
). Assim:
Passo 8
Resolvemos a equação algébrica resultante. Multiplicando ambos os lados por
:
Expandindo o quadrado no lado esquerdo:
Passando todos os termos para um lado:
Passo 9
Resolvemos a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
Então
e as raízes são
Calculando cada uma:
Passo 10
Agora checamos as condições de existência dos logaritmos (do Passo 1): precisamos de
e
. Vamos verificar cada solução:
- Para
: e . OK. - Para
: . Já falha a condição , portanto é extraneous (inválida).
Também podemos checar rapidamente substituindo
na equação original:
confere.