Resolva as equações logarítmicas:
\log _{2}(3 x-1)-\log _{4}(x+1)=\frac{1}{2}

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação
\log_{2}(3x-1)-\log_{4}(x+1)=\tfrac{1}{2}.
Informações dadas e condições que devemos lembrar:
  • A equação envolve logaritmos com bases 2 e 4.
  • Os argumentos dos logaritmos devem ser positivos. Portanto devemos ter
3x-1>0 \quad\text{e}\quad x+1>0.
Estas desigualdades serão usadas depois para checar quais soluções são válidas.

Passo 2

Vamos transformar todos os logaritmos para a mesma base para trabalhar mais facilmente. Lembre que a fórmula de mudança de base é
\log_{a} b = \frac{\log_{c} b}{\log_{c} a},
ou seja, podemos escrever um logaritmo em qualquer base usando outra base que preferirmos. Aqui é natural usar a base 2, pois 4 é potência de 2 ( 4=2^2).

Passo 3

Aplicando mudança de base a \log_{4}(x+1) com base 2, obtemos
\log_{4}(x+1)=\frac{\log_{2}(x+1)}{\log_{2}4}.
Como \log_{2}4=2, isso dá
\log_{4}(x+1)=\tfrac{1}{2}\log_{2}(x+1).

Passo 4

Substituindo na equação original, ficamos com termos na mesma base:
\log_{2}(3x-1)-\tfrac{1}{2}\log_{2}(x+1)=\tfrac{1}{2}.
Multiplicando toda a equação por 2 (operação válida) para eliminar frações:
2\log_{2}(3x-1)-\log_{2}(x+1)=1.

Passo 5

Usamos agora propriedades básicas dos logaritmos. Primeiro, a propriedade da potência:
k\log_{b}A=\log_{b}(A^{k}).
Aplicando com k=2, b=2, A=3x-1:
2\log_{2}(3x-1)=\log_{2}\bigl((3x-1)^2\bigr).
Substituindo, a equação vira
\log_{2}\bigl((3x-1)^2\bigr)-\log_{2}(x+1)=1.

Passo 6

Outra propriedade útil é a diferença de logaritmos:
\log_{b}M-\log_{b}N=\log_{b}\!\left(\frac{M}{N}\right),
válida quando M>0 e N>0. Aplicando:
\log_{2}\!\left(\frac{(3x-1)^2}{x+1}\right)=1.
Observe que a validade dessa transformação exige 3x-1\ne0 e x+1>0; já tínhamos as condições de positividade a considerar.

Passo 7

Agora “deslogaritmamos”: se \log_{2}Y=1 então Y=2 (porque 2^{1}=2). Assim:
\frac{(3x-1)^2}{x+1}=2.

Passo 8

Resolvemos a equação algébrica resultante. Multiplicando ambos os lados por x+1:
(3x-1)^2 = 2(x+1).
Expandindo o quadrado no lado esquerdo:
9x^2 - 6x + 1 = 2x + 2.
Passando todos os termos para um lado:
9x^2 - 8x - 1 = 0.

Passo 9

Resolvemos a quadrática usando a fórmula de Bhaskara. O discriminante é
\Delta = (-8)^2 - 4\cdot 9 \cdot (-1)=64+36=100.
Então \sqrt{\Delta}=10 e as raízes são
x=\frac{8\pm 10}{2\cdot 9} = \frac{8\pm 10}{18}.
Calculando cada uma:
x_1=\frac{8+10}{18}=\frac{18}{18}=1,
x_2=\frac{8-10}{18}=\frac{-2}{18}=-\tfrac{1}{9}.

Passo 10

Agora checamos as condições de existência dos logaritmos (do Passo 1): precisamos de 3x-1>0 e x+1>0. Vamos verificar cada solução:
  • Para x=1: 3\cdot 1 -1 =2>0 e 1+1=2>0. OK.
  • Para x=-\tfrac{1}{9}: 3(-\tfrac{1}{9})-1=-\tfrac{1}{3}-1=-\tfrac{4}{3}<0. Já falha a condição 3x-1>0, portanto é extraneous (inválida).
Também podemos checar rapidamente substituindo x=1 na equação original:
\log_{2}(3\cdot1-1)-\log_{4}(1+1)=\log_{2}2-\log_{4}2=1-\tfrac{1}{2}=\tfrac{1}{2},
confere.

Resposta

\,x=1

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