- (UFMA) Se
, então
vale:
a) -1
b)
c)
d)
d) 1
a) -1
b)
c)
d)
d) 1
Passo 1
O enunciado dá a equação
e pede para encontrar o valor de
Informações relevantes dadas ou implícitas:
(porque os logaritmos estão definidos somente para argumentos positivos). O que precisamos achar é o valor numérico de
após determinar
pela equação dada.
Passo 2
Vamos usar uma propriedade importante de logaritmos: quando a base é uma potência, temos
Explicação: isso vem da mudança de base. Por exemplo,
. Um exemplo rápido para fixar:
, que bate com
.
Passo 3
Aplicando essa propriedade à equação, substituímos
por
. Assim a equação vira
Passo 4
Usamos agora a propriedade do logaritmo do produto:
Aplicando em
, obtemos
porque
.
Passo 5
Substituindo
na equação do Passo 3, temos
Agora agrupamos os termos em
. Os coeficientes de
são
. Calculando:
Então a equação simplifica para
Passo 6
Isolamos
. Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando por
:
Isso significa, pela definição do logaritmo (se
então
), que
que é positivo, então respeita o domínio.
Passo 7
Agora calculamos
:
Precisamos do valor de
.
Pelo próprio significado do logaritmo, para qualquer base
,
. Aqui a base é
e o argumento também é
, logo
Pelo próprio significado do logaritmo,
(Alternativamente, usando mudança de base:
.)