1. (UFMA) Se \log _{3}(3 x)-\log _{9} x-\log _{3} x=2, então \log _{\frac{1}{3}}(3 x) vale:
    a) -1
    b) -\frac{1}{3}
    c) \frac{1}{9}
    d) \frac{1}{3}
    d) 1

Passo 1

O enunciado dá a equação
\log_{3}(3x)-\log_{9}x-\log_{3}x=2
e pede para encontrar o valor de
\log_{\frac{1}{3}}(3x).
Informações relevantes dadas ou implícitas:
x>0
(porque os logaritmos estão definidos somente para argumentos positivos). O que precisamos achar é o valor numérico de \log_{\frac{1}{3}}(3x) após determinar x pela equação dada.

Passo 2

Vamos usar uma propriedade importante de logaritmos: quando a base é uma potência, temos
\log_{a^{k}} b = \frac{1}{k}\log_{a} b.
Explicação: isso vem da mudança de base. Por exemplo, \log_{9}x=\log_{3^{2}}x=\dfrac{1}{2}\log_{3}x. Um exemplo rápido para fixar: \log_{4}16=\log_{2^{2}}16=\dfrac{1}{2}\log_{2}16=\dfrac{1}{2}\cdot4=2, que bate com \log_{4}16=2.

Passo 3

Aplicando essa propriedade à equação, substituímos \log_{9}x por \dfrac{1}{2}\log_{3}x. Assim a equação vira
\log_{3}(3x)-\frac{1}{2}\log_{3}x-\log_{3}x=2.

Passo 4

Usamos agora a propriedade do logaritmo do produto:
\log_{a}(bc)=\log_{a}b+\log_{a}c.
Aplicando em \log_{3}(3x), obtemos
\log_{3}(3x)=\log_{3}3+\log_{3}x=1+\log_{3}x,
porque \log_{3}3=1.

Passo 5

Substituindo \log_{3}(3x)=1+\log_{3}x na equação do Passo 3, temos
\bigl(1+\log_{3}x\bigr)-\frac{1}{2}\log_{3}x-\log_{3}x=2.
Agora agrupamos os termos em \log_{3}x. Os coeficientes de \log_{3}x são 1-\frac{1}{2}-1. Calculando:
1-\frac{1}{2}-1=-\frac{1}{2}.
Então a equação simplifica para
1-\frac{1}{2}\log_{3}x=2.

Passo 6

Isolamos \log_{3}x. Subtraindo 1 de ambos os lados:
-\frac{1}{2}\log_{3}x=1.
Multiplicando por -2:
\log_{3}x=-2.
Isso significa, pela definição do logaritmo (se \log_{3}x=-2 então x=3^{-2}), que
x=3^{-2}=\frac{1}{9},
que é positivo, então respeita o domínio.

Passo 7

Agora calculamos 3x:
3x=3\cdot\frac{1}{9}=\frac{1}{3}.
Precisamos do valor de \log_{\frac{1}{3}}\!\bigl(3x\bigr)=\log_{\frac{1}{3}}\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr).
Pelo próprio significado do logaritmo, \log_{a}a=1 para qualquer base a>0, a\neq1. Aqui a base é a=\tfrac{1}{3} e o argumento também é a=\tfrac{1}{3}, logo
\log_{\frac{1}{3}}\!\bigl(\tfrac{1}{3}\bigr)=1.
(Alternativamente, usando mudança de base: \log_{\frac{1}{3}}(\tfrac{1}{3})=\dfrac{\ln(1/3)}{\ln(1/3)}=1.)

Resposta

1

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