1. (UNIFESP) O valor de x que é solução da equação \log 2+\log (x+1)-\log x=1 é:
    a) 0,15
    b) 0,25
    c) 0,35
    d) 0,45
    e) 0,55

Passo 1

O enunciado dá a equação
\log 2+\log(x+1)-\log x=1
e pede: qual é o valor de x que satisfaz essa equação?
Informações relevantes fornecidas: x aparece dentro de \log(x+1) e \log x, logo devemos ter x>0 e x+1>0 (portanto x>0). Vou assumir que \log é o logaritmo decimal (base 10), que é o uso habitual em provas como essa.

Passo 2

Domínio da solução: como dito, para que \log(x+1) e \log x existam, precisamos de
x>0.
Esse é o intervalo em que podemos procurar a solução.

Passo 3

Regra de operações com logaritmos (lembrinha importante para a prova): para números positivos a,b e base 10,
\log a+\log b=\log(ab)
e
\log a-\log b=\log\!\left(\frac{a}{b}\right).
Justificativa rápida: se \log a=m e \log b=n então a=10^m e b=10^n, então ab=10^{m+n} e \log(ab)=m+n. O raciocínio é análogo para a diferença.

Passo 4

Aplique as regras ao lado esquerdo da equação para juntar os logaritmos em um só:
\log 2+\log(x+1)-\log x=\log\!\left(\frac{2(x+1)}{x}\right).
Portanto a equação fica
\log\!\left(\frac{2(x+1)}{x}\right)=1.

Passo 5

Agora use a definição inversa do logaritmo: se \log_{10} Y=1, então Y=10^1=10. Assim,
\frac{2(x+1)}{x}=10.

Passo 6

Resolva a equação racional resultante passo a passo:
\frac{2(x+1)}{x}=10
multiplicando ambos os lados por x (lembrando que x>0, então não trocamos sinal):
2(x+1)=10x.
Expanda o lado esquerdo:
2x+2=10x.
Passe 2x para o outro lado:
2=10x-2x=8x.
Logo
x=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}=0,25.

Passo 7

Verificação rápida (checar na prova é bom): com x=0,25 temos x+1=1,25 e
\log 2+\log 1,25-\log 0,25=\log\!\left(\frac{2\cdot 1,25}{0,25}\right)=\log 10=1,
confirmando que x=0,25 é solução e respeita x>0.

Resposta

b) 0,25

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