Resolva as equações em
:
Passo 1
O enunciado pede: resolver a equação em
Informações dadas e objetivo claro:
- Procurar todos os números reais
tais que e satisfaçam . - Domínio é
.
A partir daqui vamos manipular a equação usando propriedades básicas de potências e logaritmos para encontrar todas as soluções positivas.
Passo 2
Argumento inicial: como estamos em
, temos
, logo
. Podemos dividir ambos os lados da equação por
sem problema. Dividindo
por
obtemos:
Explanação didática: dividir por
é válido porque
é positivo (não é zero). A equação reduzida é mais simples e mostra que uma potência de
deve valer
.
Passo 3
Usar logaritmo para resolver
. Como
, podemos aplicar o logaritmo natural
dos dois lados. Isso transforma potências em produtos:
Sabendo que
, chegamos à equação
Explicação didática: propriedade usada — para
e qualquer real
,
. Aplicar
é útil porque transforma a incógnita que aparece tanto na base quanto no expoente em uma equação algébrica/mais simples.
Passo 4
Resolver o produto igual a zero. Se um produto de dois números reais é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Portanto as possibilidades são:
-
, ou -
.
Resolver cada caso:
-
. -
(porque e ).
Ambos os casos conduzem ao mesmo valor
.
Passo 5
Verificação prática: substituir
na equação original:
o que é verdadeiro. Explicação didática curta: sempre bom checar que a solução encontrada realmente satisfaz a equação inicial.
Passo 6
Observação sobre unicidade (intuição): a manipulação por log mostrou que qualquer solução positiva seria raiz da equação
, cuja única raiz é
. Portanto não há outras soluções em
.