Resolva as equações em \mathbb{R}_{+}:
x^{x}=x

Passo 1

O enunciado pede: resolver a equação em \mathbb{R}_{+}
x^{x}=x.
Informações dadas e objetivo claro:
  • Procurar todos os números reais x tais que x>0 e satisfaçam \;x^{x}=x.
  • Domínio é \mathbb{R}_{+}=\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}.
    A partir daqui vamos manipular a equação usando propriedades básicas de potências e logaritmos para encontrar todas as soluções positivas.

Passo 2

Argumento inicial: como estamos em \mathbb{R}_{+}, temos x>0, logo x\neq0. Podemos dividir ambos os lados da equação por x sem problema. Dividindo \;x^{x}=x por x obtemos:
x^{x-1}=1.
Explanação didática: dividir por x é válido porque x é positivo (não é zero). A equação reduzida é mais simples e mostra que uma potência de x deve valer 1.

Passo 3

Usar logaritmo para resolver x^{x-1}=1. Como x>0, podemos aplicar o logaritmo natural \ln dos dois lados. Isso transforma potências em produtos:
\ln\bigl(x^{x-1}\bigr)=(x-1)\ln x = \ln 1.
Sabendo que \ln 1=0, chegamos à equação
(x-1)\ln x = 0.
Explicação didática: propriedade usada — para a>0 e qualquer real b, \ln(a^{b})=b\ln a. Aplicar \ln é útil porque transforma a incógnita que aparece tanto na base quanto no expoente em uma equação algébrica/mais simples.

Passo 4

Resolver o produto igual a zero. Se um produto de dois números reais é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Portanto as possibilidades são:
  1. x-1=0, ou
  2. \ln x = 0.
Resolver cada caso:
  1. x-1=0 \Rightarrow x=1.
  2. \ln x =0 \Rightarrow x= e^{0}=1 (porque e^{\ln x}=x e \ln 1=0).
Ambos os casos conduzem ao mesmo valor x=1.

Passo 5

Verificação prática: substituir x=1 na equação original:
1^{1}=1,
o que é verdadeiro. Explicação didática curta: sempre bom checar que a solução encontrada realmente satisfaz a equação inicial.

Passo 6

Observação sobre unicidade (intuição): a manipulação por log mostrou que qualquer solução positiva seria raiz da equação (x-1)\ln x=0, cuja única raiz é x=1. Portanto não há outras soluções em \mathbb{R}_{+}.

Resposta

1

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