Simplifique as expressões abaixo.
\sqrt[4]{x^{4} y^{8}}

Passo 1

O que o enunciado pede: simplificar a expressão \sqrt[4]{x^{4} y^{8}}.
Informações dadas:
  • A expressão dentro da raiz é \,x^{4}y^{8}.
  • A raiz é de índice 4 (quarta raiz), isto é, raiz de ordem par.
  • Não foram impostas restrições explícitas sobre x e y, então assumimos x,y números reais. Observação: para números reais, x^{4}y^{8}\ge 0 sempre, logo a quarta raiz principal está bem definida.

Passo 2

Lembrete das propriedades que vamos usar (explicadas de maneira simples):
  • Para números reais ou símbolos algébricos, (ab)^n = a^n b^n. Ex.: (2\cdot3)^2 = 6^2 = 36 e 2^2\cdot3^2 = 4\cdot9=36.
  • A raiz de índice n pode ser vista como potência 1/n: \sqrt[n]{A} = A^{1/n}.
  • Quando n é par, vale a identidade importante \sqrt[n]{a^{n}} = |a|para a real. Exemplo simples: \sqrt{(-3)^2}=\sqrt{9}=3=|-3|. Isso acontece porque a raiz principal retorna sempre um número não negativo quando o índice é par.

Passo 3

Agrupar fatores convenientemente. Observe que
(xy^{2})^{4} = x^{4}\,y^{8},
pois aplicando (ab)^n=a^n b^n obtemos x^4 e (y^2)^4 = y^{8}. Portanto o radicando pode ser escrito como uma quarta potência:
x^{4}y^{8}=(xy^{2})^{4}.

Passo 4

Aplicar a quarta raiz à quarta potência usando a propriedade da raiz par:
\sqrt[4]{(xy^{2})^{4}} = |xy^{2}|.
Aqui usamos que \sqrt[4]{(\cdot)^{4}} = |\cdot| porque o índice 4 é par.

Passo 5

Simplificar o valor absoluto sabendo que y^{2} é sempre não negativo para y real:
|xy^{2}| = |x|\;|y^{2}| = |x|\;y^{2},
já que |y^{2}|=y^{2}. Assim obtemos
\sqrt[4]{x^{4}y^{8}} = |x|\,y^{2}.

Passo 6

Verificação com um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: tome x=-1 e y=2.
  • Radicando: (-1)^{4}\cdot 2^{8}=1\cdot256=256.
  • Quarta raiz: \sqrt[4]{256}=4.
  • Fórmula |x|y^{2} = |{-1}|\cdot 2^{2}=1\cdot4=4.
    Se usássemos x y^{2} sem o valor absoluto teríamos -4, que está errado, por isso o módulo em x é necessário.

Resposta

|x|\,y^{2}

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