Simplifique as expressões abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede: simplificar a expressão
.
Informações dadas:
- A expressão dentro da raiz é
. - A raiz é de índice
(quarta raiz), isto é, raiz de ordem par. - Não foram impostas restrições explícitas sobre
e , então assumimos números reais. Observação: para números reais, sempre, logo a quarta raiz principal está bem definida.
Passo 2
Lembrete das propriedades que vamos usar (explicadas de maneira simples):
- Para números reais ou símbolos algébricos,
. Ex.: e . - A raiz de índice
pode ser vista como potência : . - Quando
é par, vale a identidade importante para real. Exemplo simples: . Isso acontece porque a raiz principal retorna sempre um número não negativo quando o índice é par.
Passo 3
Agrupar fatores convenientemente. Observe que
pois aplicando
obtemos
e
. Portanto o radicando pode ser escrito como uma quarta potência:
Passo 4
Aplicar a quarta raiz à quarta potência usando a propriedade da raiz par:
Aqui usamos que
porque o índice
é par.
Passo 5
Simplificar o valor absoluto sabendo que
é sempre não negativo para
real:
já que
. Assim obtemos
Passo 6
Verificação com um exemplo numérico rápido para fixar a ideia: tome
e
.
- Radicando:
. - Quarta raiz:
. - Fórmula
.
Se usássemossem o valor absoluto teríamos , que está errado, por isso o módulo em é necessário.