Resolva as equações:
|ccc3-x & -1 & -1 2 & x-4 & -2 3 & -3 & x-5|=0

Passo 1

O enunciado nos pede para encontrar os valores de x tais que o determinante da matriz
3 - x & -1 & -1 2 & x - 4 & -2 3 & -3 & x - 5 =0
O conteúdo aqui é cálculo de determinante de matriz 3times3 e resolução de equação polinomial resultante.

Passo 2

Vamos expandir o determinante pela primeira linha. Chamando-o de f(x), temos
f(x) = (3 - x)detx-4 & -2 -3 & x-5 -(-1)det2 & -2 3 & x-5 +(-1)det2 & x-4 3 & -3

Passo 3

Calculando cada menor:
detx-4 & -2 -3 & x-5 = (x-4)(x-5)-(-2)(-3) = x^2 -9x +20 -6 = x^2 -9x +14,
det2 & -2 3 & x-5 = 2(x-5) - (-2)cdot3 = 2x -10 +6 = 2x -4,
det2 & x-4 3 & -3 = 2cdot(-3) - (x-4)cdot3 = -6 -3x +12 = 6 -3x
Substituindo em f(x):
f(x) = (3-x)(x^2 -9x +14) + (2x -4) - (6 -3x)

Passo 4

Vamos simplificar f(x):
(3-x)(x^2 -9x +14) = -x^3 +12x^2 -41x +42,
(2x -4)-(6 -3x)=2x-4-6+3x=5x-10
Logo
f(x) = -x^3 +12x^2 -41x +42 +5x -10 = -x^3 +12x^2 -36x +32
Igualando a zero e multiplicando por -1:
x^3 -12x^2 +36x -32 = 0

Passo 5

Para resolver o polinômio x^3 -12x^2 +36x -32=0 usamos o Teorema das Raízes Racionais. Testando x=2:
2^3 -12cdot2^2 +36cdot2 -32 =8 -48 +72 -32 =0,
logo (x-2) é fator. Fazendo divisão sintética obtemos
x^3 -12x^2 +36x -32 = (x-2)(x^2 -10x +16)
Resolvendo x^2 -10x +16=0:
x = 10 pm raiz100 -642 = 10 pm 62 ;Rightarrow; x=8 ou x=2

Resposta

As soluções da equação são
x=2(raiz dupla) e x=8

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