Mostrar que, se u é ortogonal a v-w, u é também ortogonal a v+w.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, se vec u é ortogonal a vec v - vec w, então vec u é também ortogonal a vec v + vec w. Aqui usamos propriedades do produto escalar: bilinearidade e simetria.

Passo 2

Da hipótese de ortogonalidade temos
vec u cdot (vec v - vec w) = 0
pela linearidade do produto escalar isso vira
vec u cdot vec v ;-;vec u cdot vec w = 0 Longrightarrow vec u cdot vec v = vec u cdot vec w

Passo 3

Agora calculamos
vec u cdot (vec v + vec w) = vec u cdot vec v + vec u cdot vec w = vec u cdot vec v + vec u cdot vec v = 2,(vec u cdot vec v)
Para que isto seja zero precisaríamos de vec u cdot vec v=0, mas a hipótese só garante vec ucdotvec v=vec ucdotvec w, não que esse valor seja zero.

Passo 4

Como o resultado acima mostra que não há razão para vec ucdot(vec v+vec w) anular em geral, basta um contra-exemplo. Seja
vec u = (1,0), vec v = (1,1), vec w = (1,-1)
Então
vec v - vec w = (0,2), vec ucdot(vec v-vec w) = 1cdot0 + 0cdot2 = 0,
porém
vec v + vec w = (2,0), vec ucdot(vec v+vec w) = 1cdot2 + 0cdot0 = 2 neq 0

Resposta

A afirmação é falsa em geral; o contra-exemplo acima mostra que vec u pode ser ortogonal a vec v-vec w sem ser ortogonal a vec v+vec w.

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