Mostrar que, se
é ortogonal a
,
é também ortogonal a
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, se
é ortogonal a
, então
é também ortogonal a
. Aqui usamos propriedades do produto escalar: bilinearidade e simetria.
Passo 2
Da hipótese de ortogonalidade temos
pela linearidade do produto escalar isso vira
Passo 3
Agora calculamos
Para que isto seja zero precisaríamos de
, mas a hipótese só garante
, não que esse valor seja zero.
Passo 4
Como o resultado acima mostra que não há razão para
anular em geral, basta um contra-exemplo. Seja
Então
porém
Resposta
A afirmação é falsa em geral; o contra-exemplo acima mostra que
pode ser ortogonal a
sem ser ortogonal a
.