Use a transformada de Laplace para resolver a equação integral dada ou a equação íntegro-diferencial.
a) f(t)+integral0^t(t-tau) f(tau) d tau=t
b) f(t)=2 t-4 integral0^t sen tau f(t-tau) d tau
c) f(t)=t e^t+integral0^t tau f(t-tau) d tau
d) f(t)+2 integral0^t cos (t-tau) f(tau) d tau=4 e^-t+ sent
e) f(t)+integral0^t f(tau) d tau=1
f) t-2 f(t)=integral0^t(e^tau-e^-tau) f(t-tau) d tau
g) y^prime(t)=1-sen t-integral0^t y(tau) d tau, y(0)=0
h) y^prime+6 y+9 integral0^t y(tau) d tau=1, y(0)=0
i) f(t)=cos t+integral0^t e^-tau f(t-tau) d tau

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. A gente tem uma equação integral do tipo:
f(t) + integral0^t (t - tau) f(tau) , dtau = t
Aqui, a matéria envolvida é Transformada de Laplace, que a gente vai usar para resolver essa equação. Vamos precisar saber como aplicar a transformada em integrais e resolver equações algébricas no domínio da frequência para achar a função .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a transformada de Laplace de uma função Lf(t) + L integral0^t (t - tau) f(tau) , dtau = Lt é denotada por .
Aplicando a transformada:

Passo 3

Agora, vamos transformar cada termo:
  1. Transformada de Lf(t) = F(s) :
G(s) = Lt = 1s^2
  1. Transformada da integral convolucional L integral0^t (t - tau) f(tau) , dtau = G(s) cdot F(s) = F(s)s^2 :
Sabemos que Lt = 1s^2 é a convolução de e , e sua transformada é .
Aqui, , então:
Portanto:
  1. Transformada de :

Passo 4

Substituindo todas as transformadas na equação original:
F(s) + F(s)s^2 = 1s^2

Passo 5

Vamos resolver para F(s) (1 + 1s^2) = 1s^2 . Primeiro, fatoramos 1 + 1s^2 = s^2 + 1s^2 :
F(s) cdot s^2 + 1s^2 = 1s^2
Simplificando o fator:
F(s) = 1s^2 cdot s^2s^2 + 1 = 1s^2 + 1
Então:
Agora, isolamos :

Passo 6

Agora que temos L^-1 1s^2 + 1 = sin(t) , vamos aplicar a transformada inversa de Laplace para encontrar .
Sabemos que:

Resposta

A solução da equação é:
f(t) = sin(t)

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