Use a transformada de Laplace para resolver a equação diferencial dada sujeita às condições iniciais indicadas. Quando apropriado, escreva f em termos de funções degrau unitário.
{ y^iv - y = t, y(0) = y'(0) = y''(0) = y'''(0) = 0 }.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente vai precisar entender como aplicar a transformada nos termos da equação, especialmente nos derivados, e depois usar as condições iniciais para achar a solução. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos anotar a equação diferencial que temos:
E as condições iniciais são todas zero:
Aqui, é a quarta derivada de y em relação ao tempo t.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que a Transformada de Laplace de uma derivada de ordem n é:
Como todas as condições iniciais são zero, a expressão fica mais simples.

Passo 4

Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial:
Usando a fórmula da derivada:
Como , simplificamos para:

Passo 5

Agora, vamos fatorar o :
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 6

Vamos fatorar o denominador :
Então, temos:

Passo 7

Agora, vamos decompor frações parciais para facilitar a inversão da Transformada de Laplace. Queremos escrever na forma:

Passo 8

Multiplicando ambos os lados por para eliminar os denominadores:
Essa equação será usada para encontrar os valores de A, B, C, D, E e F.

Passo 9

Para simplificar, podemos substituir valores específicos de s que tornam alguns termos zero:
  1. Para :
  1. Para :
Simplificando:
  1. Para :
Simplificando:
Vamos precisar de mais equações para resolver para A, D, E e F.

Passo 10

Expanda e iguale os coeficientes para os termos de em ambos os lados da equação. Isso vai nos dar um sistema de equações para resolver os valores desconhecidos.
Após resolver o sistema, encontramos:

Passo 11

Agora, substituímos os valores encontrados na expressão de :
Simplificando:

Passo 12

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada termo:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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