Resolva as equações polinomiais:
x^5-5 x^4-4 x^3+36 x^2+27 x-135=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação polinomial
x^5 - 5x^4 - 4x^3 + 36x^2 + 27x - 135 = 0
O conteúdo envolvido é o Teorema das Raízes Racionais (para testar potenciais raízes inteiras), divisão sintética (para fatorar o polinômio passo a passo) e a fórmula de Bhaskara (para resolver o quadrático final).

Passo 2

Pelo Teorema das Raízes Racionais, quaisquer raízes racionais tfrac p q satisfazem pmid135 e qmid1, ou seja as candidatas são
pm1,pm3,pm5,pm9,pm15,pm27,pm45,pm135.
Testando x=3 em f(x)=x^5-5x^4-4x^3+36x^2+27x-135 obtemos
f(3)=3^5-5cdot3^4-4cdot3^3+36cdot3^2+27cdot3-135=0
Logo (x-3) é fator. Fazendo divisão sintética, chegamos a
x^5-5x^4-4x^3+36x^2+27x-135=(x-3)l(x^4-2x^3-10x^2+6x+45r)

Passo 3

Chamando g(x)=x^4-2x^3-10x^2+6x+45, testamos novamente x=3:
g(3)=3^4-2cdot3^3-10cdot3^2+6cdot3+45=0
Portanto (x-3) também divide g(x). Pela divisão sintética obtemos
g(x)=(x-3)l(x^3+x^2-7x-15r)

Passo 4

Definindo h(x)=x^3+x^2-7x-15, testamos mais uma vez x=3:
h(3)=3^3+3^2-7cdot3-15=27+9-21-15=0
Logo dividimos por (x-3) e ficamos com
h(x)=(x-3)l(x^2+4x+5r)

Passo 5

Sobrou a equação quadrática
x^2+4x+5=0
Aplicando Bhaskara, o discriminante é
De<a = 4^2 - 4cdot1cdot5 = 16 - 20 = -4,
de onde
x = -4 pm raiz-42 = -2 pm i

Resposta

As raízes da equação original são
x = 3(mu<iplicidade 3), x = -2 + i, x = -2 - i

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