Resolva as equações:
a)
.
b)
.
c)
.
8. a) Resolva o problema de valor inicial:
b) Para quais valores de
a solução é crescente e para quais valores de
a solução é decrescente?
a)
b)
c)
8. a) Resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver equações lineares de primeira ordem do tipo
e em seguida um problema de valor inicial. O método geral é usar o fator integrante
pois daí
e a solução geral é
Passo 2
Para a equação (a)
temos
, logo
Multiplicando a equação por
fica
Integrando,
e portanto
Passo 3
Para a equação (b)
temos
, logo
Multiplicando,
logo
e
Passo 4
A equação (c) é idêntica à (a), portanto a solução geral repete-se:
Passo 5
Para o problema de valor inicial
temos
,
Multiplicando a equação por
dá
e
Assim
Como
, temos
ficando
Passo 6
Para estudar onde a solução é crescente ou decrescente, note que da equação original
Como
, o sinal de
é o de
. Da solução achada vemos que
portanto:
– Se , então
para todo
e
, ou seja,
é crescente.
– Se , então
e
, ou seja,
é decrescente.
– Se ,
é constante.
– Se
– Se
– Se
Resposta
(a)
(b)
(c)
8 a)
8 b) A solução é crescente se , decrescente se
e constante se
.
(b)
(c)
8 a)
8 b) A solução é crescente se