Determine os valores de r para os quais a função y(t) é solução da equação:
a) y(t)=\frac{r}{t^{2}-3} e y^{\prime}+t y^{2}=0.
b) y(t)=\frac{r}{t^{2}+1} e y^{\prime}-2 t y^{2}=0.
c) y(t)=\frac{r}{t^{2}+1} e y^{\prime}-6 t y^{2}=0.
d) y(t)=\frac{r}{t^{2}+2} e y^{\prime}-t y=0.

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores de r de modo que cada função
- (a) y(t)=\frac{r}{t^{2}-3} resolva y^{\prime}+t\,y^{2}=0
- (b) y(t)=\frac{r}{t^{2}+1} resolva y^{\prime}-2t\,y^{2}=0
- (c) y(t)=\frac{r}{t^{2}+1} resolva y^{\prime}-6t\,y^{2}=0
- (d) y(t)=\frac{r}{t^{2}+2} resolva y^{\prime}-t\,y=0
O plano é: para cada caso, calcular \,y^{\prime}, expressar y^{2}, substituir na equação e impor que o resultado seja identicamente zero em t, o que leva a condições sobre r.

Passo 2

Caso (a):
Temos
y(t)=\frac{r}{t^{2}-3},
logo
y^{\prime}=\frac{-2r\,t}{(t^{2}-3)^{2}},
e
y^{2}=\frac{r^{2}}{(t^{2}-3)^{2}}.
Substituindo em y^{\prime}+t\,y^{2}=0:
\frac{-2r\,t}{(t^{2}-3)^{2}} \;+\; t\;\frac{r^{2}}{(t^{2}-3)^{2}} \;=\; \frac{t(-2r + r^{2})}{(t^{2}-3)^{2}} \;=\;0.
Para todo t (exceto singular), exige-se -2r + r^{2}=0, ou seja
r(r-2)=0\quad\Longrightarrow\quad r=0\text{ ou }r=2.

Passo 3

Caso (b):
y(t)=\frac{r}{t^{2}+1}, \quad y^{\prime}=\frac{-2r\,t}{(t^{2}+1)^{2}}, \quad y^{2}=\frac{r^{2}}{(t^{2}+1)^{2}}.
Na equação y^{\prime}-2t\,y^{2}=0:
\frac{-2r\,t}{(t^{2}+1)^{2}} \;-\; 2t\;\frac{r^{2}}{(t^{2}+1)^{2}} \;=\; \frac{-2t(r + r^{2})}{(t^{2}+1)^{2}} \;=\;0.
Isto dá r(1+r)=0, logo
r=0\text{ ou }r=-1.

Passo 4

Caso (c):
y(t)=\frac{r}{t^{2}+1}, \quad y^{\prime}=\frac{-2r\,t}{(t^{2}+1)^{2}}, \quad y^{2}=\frac{r^{2}}{(t^{2}+1)^{2}}.
Em y^{\prime}-6t\,y^{2}=0:
\frac{-2r\,t}{(t^{2}+1)^{2}} \;-\; 6t\;\frac{r^{2}}{(t^{2}+1)^{2}} \;=\; \frac{-2t\,r(1+3r)}{(t^{2}+1)^{2}} \;=\;0.
Daí r(1+3r)=0, isto é
r=0\text{ ou }r=-\tfrac{1}{3}.

Passo 5

Caso (d):
y(t)=\frac{r}{t^{2}+2}, \quad y^{\prime}=\frac{-2r\,t}{(t^{2}+2)^{2}}.
Na equação y^{\prime}-t\,y=0:
\frac{-2r\,t}{(t^{2}+2)^{2}} \;-\; t\;\frac{r}{t^{2}+2} \;=\; \frac{-r\,t(t^{2}+4)}{(t^{2}+2)^{2}} \;=\;0.
Como t é variável, só nos resta r=0.

Resposta

(a) r=0 ou 2
(b) r=0 ou -1
(c) r=0 ou -\tfrac{1}{3}
(d) r=0

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