Questão 7. Considere a função
.
(a) Calcule
para
e para
.
(b) Existe reta tangente em
? Justifique geometricament e e analiticamente.
(c) Esboce o gráfico destacando a diferença no ponto
.
(a) Calcule
(b) Existe reta tangente em
(c) Esboce o gráfico destacando a diferença no ponto
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
(a) Calcular para
e para
.
(b) Dizer se existe reta tangente em e justificar geometricamente e analiticamente.
(c) Esboçar o gráfico, destacando a diferença no ponto .
(a) Calcular
(b) Dizer se existe reta tangente em
(c) Esboçar o gráfico, destacando a diferença no ponto
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar: a definição de valor absoluto pode ser escrita em forma peça‑a‑peça:
Não começo a resolver ainda; apenas enumerei o que é pedido e os dados que temos.]
Passo 2
Definição de derivada (aula curta e direta): a derivada de
num ponto
é o limite do quociente incremental, se ele existir:
Aqui
é o incremento da variável; esse limite, se existir e for finito, representa a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente à curva em
. Para aplicar essa definição com segurança devemos conhecer a expressão de
perto do ponto em questão — por isso escrevemos
em forma peça‑a‑peça.
Passo 3
Cálculo de
para
.
Como
, podemos escolher
suficientemente pequeno (por exemplo
) de modo que
. Assim, para esses
vale
e
. Substituindo na definição:
Esse quociente é exatamente
para todos os
pequenos (positivos ou negativos) que mantêm
. Portanto o limite quando
é
Explicação extra (didática): intuitivamente, para
a função coincide com a reta
numa vizinhança de
, então sua inclinação local é
.
Passo 4
Cálculo de
para
.
Agora
. Novamente pegamos
pequeno tal que
, garantindo
. Então
e
. O quociente incremental fica
Esse valor é exatamente
para todos os
pequenos que mantêm
. Assim
Explicação extra (didática): para
a função coincide com a reta
numa vizinhança de
, cuja inclinação é
.
Passo 5
Reta tangente em um ponto genérico
(relembrando a fórmula) e aplicação aos ramos.
Fórmula da reta tangente em
, quando
é diferenciável em
:
- Se
, temos e , logo a tangente é
Observação: para qualquer ponto do ramo direito (
) a tangente local é a reta
— a própria reta do ramo.
- Se
, temos e , logo a tangente é
Para qualquer ponto do ramo esquerdo (
) a tangente local é a reta
.
Passo 6
Análise em
— cálculo das derivadas laterais (justificativa analítica).
Para verificar existência de derivada em
usamos as derivadas laterais (os limites unilaterais do quociente incremental).
Cálculo da derivada pelo lado direito:
Cálculo da derivada pelo lado direito:
Cálculo da derivada pelo lado esquerdo:
Como os limites laterais são diferentes (
e
), o limite total
não existe. Logo
não é diferenciável em
.
Conclusão analítica: não existe derivada em
, portanto não existe reta tangente única em
no sentido clássico (derivada = coeficiente angular da tangente).
Passo 7
Justificativa geométrica e observação sobre tangentes das ramificações.
Geométrica (explicada de forma simples): o gráfico de
é um “V” com vértice em
. O ramo direito é a reta
(inclinação
) e o ramo esquerdo é a reta
(inclinação
). No ponto
existe um canto (vértice) — a curva muda de direção abruptamente — e não há uma única reta que descreva a direção da curva tanto à direita quanto à esquerda. Por isso não há uma única reta tangente ao gráfico em
no sentido usual.
Nota didática extra: as retas
e
passam por
e são tangentes a cada ramo separadamente (se você olhar só para
ou só para
elas são tangentes). Mas para a função inteira
no ponto
não existe uma única reta tangente porque não há um único coeficiente angular que represente a aproximação linear em ambos os lados.
Passo 8
Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova)
- Desenhe os eixos
e e marque o ponto . - Para
desenhe a reta (45º para cima). Para desenhe a reta (45º para baixo). - No ponto
mostre claramente o vértice (uma ponta aguda) — este é o ponto onde a função é contínua ( ) mas não é diferenciável. - Se quiser destacar as tangentes dos ramos, trace em traço mais grosso a linha
à direita e a linha à esquerda; no ponto use um símbolo (ex.: um pequeno círculo preenchido) e indique “canto — sem reta tangente única”.
Dica na prova: desenhe pequenos segmentos secantes aproximando por ambos os lados para visualizar que as inclinações se aproximam de
pela direita e de
pela esquerda.
Resposta
(a)
para
;
para
.
(b) Não existe reta tangente única em , pois as derivadas laterais são diferentes:
e
.
(c) Gráfico: um “V” com vértice em ; ramo direito é a reta
(inclinação
) e ramo esquerdo é a reta
(inclinação
); o ponto
é um canto (contínuo, não diferenciável).
(b) Não existe reta tangente única em
(c) Gráfico: um “V” com vértice em