Questão 7. Considere a função f(x)=|x|.
(a) Calcule f^{\prime}(x) para x>0 e para x<0.
(b) Existe reta tangente em x=0 ? Justifique geometricament e e analiticamente.
(c) Esboce o gráfico destacando a diferença no ponto x=0.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=|x| e pede três coisas:
(a) Calcular f^{\prime}(x) para x>0 e para x<0.
(b) Dizer se existe reta tangente em x=0 e justificar geometricamente e analiticamente.
(c) Esboçar o gráfico, destacando a diferença no ponto x=0.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado que vamos usar: a definição de valor absoluto pode ser escrita em forma peça‑a‑peça:
|x|=\begin{cases} x, & x\ge 0,\\[4pt] - x, & x<0. \end{cases}
Não começo a resolver ainda; apenas enumerei o que é pedido e os dados que temos.]

Passo 2

Definição de derivada (aula curta e direta): a derivada de f num ponto x é o limite do quociente incremental, se ele existir:
f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.
Aqui h é o incremento da variável; esse limite, se existir e for finito, representa a inclinação (o coeficiente angular) da reta tangente à curva em x. Para aplicar essa definição com segurança devemos conhecer a expressão de f perto do ponto em questão — por isso escrevemos f em forma peça‑a‑peça.

Passo 3

Cálculo de f'(x) para x>0.
Como x>0, podemos escolher h suficientemente pequeno (por exemplo |h|<x) de modo que x+h>0. Assim, para esses h vale f(x+h)=|x+h|=x+h e f(x)=|x|=x. Substituindo na definição:
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{(x+h)-x}{h}=\frac{h}{h}=1.
Esse quociente é exatamente 1 para todos os h pequenos (positivos ou negativos) que mantêm x+h>0. Portanto o limite quando h\to 0 é
f'(x)=1\quad\text{para todo }x>0.
Explicação extra (didática): intuitivamente, para x>0 a função coincide com a reta y=x numa vizinhança de x, então sua inclinação local é 1.

Passo 4

Cálculo de f'(x) para x<0.
Agora x<0. Novamente pegamos h pequeno tal que |h|<|x|, garantindo x+h<0. Então f(x+h)=|x+h|=-(x+h) e f(x)=|x|=-x. O quociente incremental fica
\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{-(x+h)-(-x)}{h}=\frac{-x-h+x}{h}=\frac{-h}{h}=-1.
Esse valor é exatamente -1 para todos os h pequenos que mantêm x+h<0. Assim
f'(x)=-1\quad\text{para todo }x<0.
Explicação extra (didática): para x<0 a função coincide com a reta y=-x numa vizinhança de x, cuja inclinação é -1.

Passo 5

Reta tangente em um ponto genérico a (relembrando a fórmula) e aplicação aos ramos.
Fórmula da reta tangente em x=a, quando f é diferenciável em a:
\text{reta tangente: } y = f'(a)(x-a)+f(a).
  • Se a>0, temos f'(a)=1 e f(a)=a, logo a tangente é
y=1\cdot(x-a)+a = x.
Observação: para qualquer ponto do ramo direito ( x>0) a tangente local é a reta y=x — a própria reta do ramo.
  • Se a<0, temos f'(a)=-1 e f(a)=-a, logo a tangente é
y=-1\cdot(x-a)-a = -x.
Para qualquer ponto do ramo esquerdo ( x<0) a tangente local é a reta y=-x.

Passo 6

Análise em x=0 — cálculo das derivadas laterais (justificativa analítica).
Para verificar existência de derivada em 0 usamos as derivadas laterais (os limites unilaterais do quociente incremental).
Cálculo da derivada pelo lado direito:
f'_+(0)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to 0^+}\frac{|h|-0}{h} =\lim_{h\to 0^+}\frac{h}{h}=1.
Cálculo da derivada pelo lado esquerdo:
f'_-(0)=\lim_{h\to 0^-}\frac{f(0+h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to 0^-}\frac{|h|-0}{h} =\lim_{h\to 0^-}\frac{-h}{h}=-1.
Como os limites laterais são diferentes ( f'_+(0)=1 e f'_-(0)=-1), o limite total \lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h} não existe. Logo f não é diferenciável em 0.
Conclusão analítica: não existe derivada em x=0, portanto não existe reta tangente única em x=0 no sentido clássico (derivada = coeficiente angular da tangente).

Passo 7

Justificativa geométrica e observação sobre tangentes das ramificações.
Geométrica (explicada de forma simples): o gráfico de f(x)=|x| é um “V” com vértice em (0,0). O ramo direito é a reta y=x (inclinação +1) e o ramo esquerdo é a reta y=-x (inclinação -1). No ponto x=0 existe um canto (vértice) — a curva muda de direção abruptamente — e não há uma única reta que descreva a direção da curva tanto à direita quanto à esquerda. Por isso não há uma única reta tangente ao gráfico em x=0 no sentido usual.
Nota didática extra: as retas y=x e y=-x passam por (0,0) e são tangentes a cada ramo separadamente (se você olhar só para x\ge 0 ou só para x\le 0 elas são tangentes). Mas para a função inteira f no ponto 0 não existe uma única reta tangente porque não há um único coeficiente angular que represente a aproximação linear em ambos os lados.

Passo 8

Como esboçar o gráfico (passo a passo prático para a prova)
  1. Desenhe os eixos x e y e marque o ponto (0,0).
  2. Para x\ge 0 desenhe a reta y=x (45º para cima). Para x\le 0 desenhe a reta y=-x (45º para baixo).
  3. No ponto x=0 mostre claramente o vértice (uma ponta aguda) — este é o ponto onde a função é contínua ( f(0)=0) mas não é diferenciável.
  4. Se quiser destacar as tangentes dos ramos, trace em traço mais grosso a linha y=x à direita e a linha y=-x à esquerda; no ponto 0 use um símbolo (ex.: um pequeno círculo preenchido) e indique “canto — sem reta tangente única”.
Dica na prova: desenhe pequenos segmentos secantes aproximando por ambos os lados para visualizar que as inclinações se aproximam de 1 pela direita e de -1 pela esquerda.

Resposta

(a) f'(x)=1 para x>0; f'(x)=-1 para x<0.
(b) Não existe reta tangente única em x=0, pois as derivadas laterais são diferentes: f'_+(0)=1 e f'_-(0)=-1.
(c) Gráfico: um “V” com vértice em (0,0); ramo direito é a reta y=x (inclinação +1) e ramo esquerdo é a reta y=-x (inclinação -1); o ponto x=0 é um canto (contínuo, não diferenciável).

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