Resolva as equações a seguir.
\left(\frac{x}{4}-\frac{3}{2}\right)\left(3-\frac{x}{4}\right)=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todos os valores de x que satisfazem a equação
\left(\frac{x}{4}-\frac{3}{2}\right)\left(3-\frac{x}{4}\right)=0.
Informações dadas:
  • A expressão é um produto de dois fatores iguais a zero.
  • Deve-se resolver para a variável x.

Passo 2

Vamos usar a propriedade fundamental que resolve esse tipo de equação: a propriedade do produto nulo. Ela diz que, se o produto de dois números é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Em forma matemática:
\text{Se } A\cdot B=0 \text{ então } A=0 \quad\text{ou}\quad B=0.ã
Aqui A é \dfrac{x}{4}-\dfrac{3}{2} e B é 3-\dfrac{x}{4}. Portanto basta resolver separadamente as duas equações
\frac{x}{4}-\frac{3}{2}=0 \qquad\text{e}\qquad 3-\frac{x}{4}=0.

Passo 3

Resolver a primeira equação \dfrac{x}{4}-\dfrac{3}{2}=0.
Primeiro isolamos \dfrac{x}{4}:
\frac{x}{4}=\frac{3}{2}.
Agora multiplicamos os dois lados por 4 para eliminar o denominador (multiplicar ambos os lados por um mesmo número é uma operação permitida e preserva a igualdade):
x = 4\cdot\frac{3}{2}.
Fazendo a conta com frações:
4\cdot\frac{3}{2}=\frac{4\cdot 3}{2}=\frac{12}{2}=6.
Logo uma solução é x=6.

Passo 4

Resolver a segunda equação 3-\dfrac{x}{4}=0.
Isolamos o termo com x:
-\frac{x}{4}=-3.
Multiplicando ambos os lados por -1 obtemos
\frac{x}{4}=3.
Multiplicando por 4 para eliminar o denominador:
x=4\cdot 3=12.
Logo a outra solução é x=12.

Passo 5

Verificação rápida (bom hábito em prova): substituir cada solução na equação original.
Para x=6:
\frac{6}{4}-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}-\frac{3}{2}=0, \qquad 3-\frac{6}{4}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2},
produto 0\cdot\frac{3}{2}=0, OK.
Para x=12:
\frac{12}{4}-\frac{3}{2}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}, \qquad 3-\frac{12}{4}=3-3=0,
produto \frac{3}{2}\cdot 0=0, OK.
Ambas as soluções são válidas.

Resposta

x=6
x=12

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