Resolva as equações a seguir.
\sqrt{2}(x+\sqrt{2})\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-1\right)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação
\sqrt{2}\,(x+\sqrt{2})\left(\frac{x}{\sqrt{2}}-1\right)=0.
O que se pede: encontrar todos os valores de x que tornam essa igualdade verdadeira. Informações relevantes que temos:
  • Há um produto de três fatores: \sqrt{2}, (x+\sqrt{2}) e \left(\dfrac{x}{\sqrt{2}}-1\right).
  • \sqrt{2} é um número constante e específico (não depende de x).
  • A equação é uma igualdade numérica ordinária (variáveis reais).

Passo 2

Princípio que vamos usar (explicação didática): propriedade do produto nulo.
  • Regra: se o produto de vários números é zero, então pelo menos um desses números deve ser zero.
  • Em símbolos: se \,A\cdot B\cdot C=0\,, então pelo menos uma das igualdades A=0, B=0 ou C=0 é verdadeira.
  • Observação útil: se um fator for uma constante não nula, ele não pode ser responsável por zerar o produto. Nesse caso podemos até dividir ambos os lados da equação por essa constante sem perder soluções.

Passo 3

Aplicando a propriedade ao nosso produto: os fatores são
A=\sqrt{2},\qquad B=x+\sqrt{2},\qquad C=\frac{x}{\sqrt{2}}-1.
Pelo princípio do produto nulo, devemos ter pelo menos uma das igualdades
\sqrt{2}=0,\qquad x+\sqrt{2}=0,\qquad \frac{x}{\sqrt{2}}-1=0.

Passo 4

Analisando cada caso:
  • \sqrt{2}=0 é impossível, porque \sqrt{2} é um número real positivo (aproximadamente 1,414). Portanto este caso não gera solução.
  • Resolver x+\sqrt{2}=0. Subtraindo \sqrt{2} dos dois lados:
x = -\sqrt{2}.
  • Resolver \dfrac{x}{\sqrt{2}}-1=0. Somando 1 aos dois lados:
\frac{x}{\sqrt{2}} = 1.
Multiplicando ambos os lados por \sqrt{2} (permitido porque \sqrt{2}\neq0):
x = \sqrt{2}.

Passo 5

Verificação rápida (para ganhar confiança, sempre bom checar na prova):
  • Para x=\sqrt{2}: o terceiro fator \dfrac{x}{\sqrt{2}}-1 fica \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}-1=1-1=0, então o produto inteiro é zero. OK.
  • Para x=-\sqrt{2}: o segundo fator x+\sqrt{2} fica -\sqrt{2}+\sqrt{2}=0, então o produto inteiro é zero. OK.

Resposta

x=-\sqrt{2}
x=\sqrt{2}

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