Encontre as soluções reais das equações a seguir, caso existam:
(x-2)^{2}=4^{2}

Passo 1

O enunciado pede: encontrar as soluções reais da equação
(x-2)^{2}=4^{2}.
Informações dadas:
  • A equação envolve um quadrado de uma expressão (x-2)^{2}.
  • O lado direito é 4^{2}, que é um número conhecido.

Passo 2

Primeiro simplifico o lado direito para ficar mais claro:
4^{2}=16,
logo a equação fica
(x-2)^{2}=16.
Agora uma observação importante (uma regra que usamos sempre): se temos
a^{2}=b^{2},
então vale
a=b\quad\text{ou}\quad a=-b.
Uma demonstração curtinha: a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)=0, então pelo produto nulo a-b=0 ou a+b=0.

Passo 3

Aplicando a regra acima com a=x-2 e b=4, obtemos
x-2=4\quad\text{ou}\quad x-2=-4.

Passo 4

Resolvendo cada caso linear separadamente:
Caso 1:
x-2=4 \implies x=4+2=6.
Caso 2:
x-2=-4 \implies x=-4+2=-2.

Passo 5

Método alternativo (útil para ver outra técnica): escrever como diferença de quadrados
(x-2)^{2}-16=0.
Como a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b), com a=x-2 e b=4 a fatoração é
((x-2)-4)\,((x-2)+4)=0,
ou seja
(x-6)(x+2)=0,
o que dá x=6 ou x=-2, concordando com o método anterior.

Passo 6

Verificação rápida substituindo na equação original:
Para x=6: (6-2)^{2}=4^{2}=16 — ok.
Para x=-2: (-2-2)^{2}=(-4)^{2}=16 — ok.
Ambas as soluções são válidas.

Resposta

x=6
x=-2

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