Resolva as equações a seguir.
(5 x+3)(2 x+7)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
(5x+3)(2x+7)=0.
Ou seja, encontrar todos os valores de x (números reais) que tornam essa igualdade verdadeira.
Informações dadas:
  • A expressão é um produto de duas expressões lineares: (5x+3) e (2x+7).
  • O produto dessas duas expressões é zero.

Passo 2

Conceito importante: propriedade do produto nulo (zero).
Regra: se o produto de dois números reais é zero, então pelo menos um dos fatores é zero. Em símbolos:
AB=0 \quad\Rightarrow\quad A=0 \\ \text{ou}\\ B=0.
Intuição simples: o único jeito de multiplicar dois números e obter zero é ter pelo menos um deles igual a zero (porque números não nulos multiplicados dão um número não nulo).

Passo 3

Aplicando a propriedade do produto nulo à equação dada, obtemos duas equações possíveis:
5x+3=0 \qquad\text{ou}\qquad 2x+7=0.
Cada uma dessas equações dá uma possível solução; precisamos resolver ambas.

Passo 4

Resolver \;5x+3=0\;.
Passos:
5x+3=0
Subtrair 3 dos dois lados:
5x = -3
Agora dividir ambos os lados por 5 (podemos dividir porque 5\neq0):
x = -\frac{3}{5}.
Portanto uma solução é x=-\dfrac{3}{5}.

Passo 5

Resolver \;2x+7=0\;.
Passos:
2x+7=0
Subtrair 7 dos dois lados:
2x = -7
Dividir ambos os lados por 2 (pois 2\neq0):
x = -\frac{7}{2}.
Portanto a outra solução é x=-\dfrac{7}{2}.

Passo 6

Verificação rápida (substituição) para garantir que as soluções realmente anulam o produto.
Para x=-\dfrac{3}{5}:
5x+3 = 5\left(-\frac{3}{5}\right)+3 = -3+3 = 0,
logo (5x+3)(2x+7)=0 (não é preciso calcular o outro fator, pois já temos um zero).
Para x=-\dfrac{7}{2}:
2x+7 = 2\left(-\frac{7}{2}\right)+7 = -7+7 = 0,
logo o produto também é 0.
Ambas as raízes verificam a equação original.

Passo 7

Resumo e interpretação para a prova: quando vir um produto igual a zero, sempre quepare os fatores e resolva cada um igual a zero. Para fatores lineares como aqui, basta isolar x subtraindo o termo constante e dividindo pelo coeficiente.

Resposta

-\dfrac{3}{5}
-\dfrac{7}{2}

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