Resolva as equações, a seguir, em \mathbb{R}.
b) \frac{5}{3+x}+2=\frac{3}{3-x}, x \neq-3 e x \neq 3

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\frac{5}{3+x} + 2 = \frac{3}{3-x},
com a ressalva de que x\neq -3 e x\neq 3. Vamos usar manipulação algébrica (multiplicar por denominadores) para transformar essa equação numa equação polinomial.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por (3+x)(3-x), que é o mínimo múltiplo comum dos denominadores, lembrando que não podemos ter x=-3 nem x=3:
\Bigl(\frac{5}{3+x} + 2\Bigr)\,(3+x)(3-x) \;=\;\frac{3}{3-x}\,(3+x)(3-x).

Passo 3

Agora simplificamos termo a termo:
\frac{5}{3+x}\,(3+x)(3-x)=5(3-x),
2\,(3+x)(3-x)=2\bigl((3+x)(3-x)\bigr)=2(9 - x^2)=18 - 2x^2,
\frac{3}{3-x}\,(3+x)(3-x)=3(3+x)=9 + 3x.
Logo a equação vira
5(3-x) + (18 - 2x^2) = 9 + 3x.
Expandindo 5(3-x)=15 - 5x e reunindo termos no lado esquerdo, temos
-2x^2 - 5x + 33 = 9 + 3x.

Passo 4

Passamos tudo para um só lado e simplificamos:
-2x^2 - 5x + 33 - 9 - 3x = 0 \quad\Longrightarrow\quad -2x^2 - 8x + 24 = 0.
Multiplicando por -1 e depois dividindo por 2:
x^2 + 4x - 12 = 0.
O discriminante é \Delta = 4^2 - 4\cdot1\cdot(-12) = 16 + 48 = 64, e \sqrt{\Delta}=8. Assim
x = \frac{-4 \pm 8}{2} \quad\Longrightarrow\quad x = 2 \quad\text{ou}\quad x = -6.

Passo 5

Verificamos as restrições x\neq -3 e x\neq 3. Como 2 e -6 não violam essas condições, ambas são soluções válidas.

Resposta

As soluções em \mathbb{R} são x = 2 e x = -6.

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