Resolva as equações, a seguir, em \mathbb{R}.
c) \frac{x^{2}}{6}=\frac{3 x}{2}-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\frac{x^{2}}{6} = \frac{3x}{2} - 3.
O conteúdo é resolução de equação do segundo grau, em que vamos usar manipulações algébricas para chegar à forma ax^{2}+bx+c=0 e depois aplicar a fórmula de Bhaskara.

Passo 2

Multiplicamos ambos os lados por 6 para eliminar os denominadores:
6 \cdot \frac{x^{2}}{6} = 6 \cdot \Bigl(\frac{3x}{2} - 3\Bigr) \quad\Longrightarrow\quad x^{2} = 6\cdot\frac{3x}{2} - 6\cdot3 = 9x - 18.

Passo 3

Transferimos tudo para o lado esquerdo e escrevemos na forma padrão:
x^{2} - 9x + 18 = 0.
Aqui a=1, b=-9 e c=18.

Passo 4

Calculamos o discriminante \Delta:
\Delta = b^{2} - 4ac = (-9)^{2} - 4\cdot1\cdot18 = 81 - 72 = 9.

Passo 5

Como \Delta>0, há duas raízes reais, dadas por
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-9)\pm\sqrt{9}}{2\cdot1} = \frac{9\pm3}{2}.
Logo as soluções são
x = \frac{9+3}{2} = 6 \quad\text{e}\quad x = \frac{9-3}{2} = 3.

Resposta

As soluções em \mathbb{R} são x=3 e x=6.

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