Resolva as equações a seguir, no universo dos números complexos.
4 x^{2}-4 x+3=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação do segundo grau
4x^{2}-4x+3=0
no conjunto dos números complexos. Para isso, vamos usar a fórmula de Bhaskara generalizada ao domínio complexo, que diz
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a},
onde \Delta = b^{2}-4ac.

Passo 2

Identificamos os coeficientes da equação
a = 4,\quad b = -4,\quad c = 3.
Calculamos o discriminante:
\Delta = b^{2} - 4ac = (-4)^{2} - 4\cdot 4 \cdot 3 = 16 - 48 = -32.

Passo 3

Como \Delta = -32 < 0, as raízes são complexas conjugadas. Precisamos expressar \sqrt{\Delta}:
\sqrt{\Delta} = \sqrt{-32} = \sqrt{32}\,\sqrt{-1} = 4\sqrt{2}\;i.

Passo 4

Aplicando a fórmula de Bhaskara:
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-(-4) \pm 4\sqrt{2}\,i}{2\cdot 4} = \frac{4 \pm 4\sqrt{2}\,i}{8}.
Agora simplificamos cada termo:
x = \frac{4}{8} \pm \frac{4\sqrt{2}\,i}{8} = \frac12 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}\,i.

Resposta

As soluções no universo dos números complexos são
x = \frac12 + \frac{\sqrt{2}}{2}\,i \quad\text{e}\quad x = \frac12 - \frac{\sqrt{2}}{2}\,i.

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