Resolva as equações separáveis a seguir.
\frac{1}{x} d x-\frac{1}{y} d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial separável
\frac{1}{x}\,dx \;-\;\frac{1}{y}\,dy = 0.
O conteúdo aqui é separação de variáveis: vamos isolar x de um lado e y do outro, depois integrar.

Passo 2

Separe as variáveis trocando de lado o termo com y:
\frac{1}{x}\,dx = \frac{1}{y}\,dy.

Passo 3

Integre ambos os lados:
\int \frac{1}{x}\,dx = \int \frac{1}{y}\,dy
Isso resulta em
\ln|x| = \ln|y| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Reescrevendo,
\ln|x| - \ln|y| = C \quad\Longrightarrow\quad \ln\!\frac{|x|}{|y|} = C \quad\Longrightarrow\quad \frac{|x|}{|y|} = e^{C} = K.
Absorvendo o sinal de y em K, obtemos a forma explícita
y = A\,x,
com A\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.

Resposta

A solução geral é
y = C\,x,\quad C\in\mathbb{R}\setminus\{0\}.

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