Resolva as equações separáveis a seguir.
\frac{1}{x} d x+d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem \displaystyle \frac{1}{x}\,dx + dy = 0
e pede sua solução geral. Como é uma equação de variáveis separáveis, vamos colocar todos os termos com x de um lado e todos os termos com y do outro para integrar.

Passo 2

Isolamos dy em função de dx:
dy = -\frac{1}{x}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int dy = \int -\frac{1}{x}\,dx.
No lado esquerdo obtemos
\int dy = y,
e no direito
\int -\frac{1}{x}\,dx = -\ln\lvert x\rvert + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Reunindo os resultados, a solução geral fica
y = -\ln\lvert x\rvert + C.

Resposta

y = -\ln\lvert x\rvert + C

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