Resolva as equações separáveis a seguir.
x d x+y d y=0 ; y(0)=-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO separável x\,dx + y\,dy = 0 com condição inicial y(0) = -2. Vamos usar integração direta de formas diferenciais exatas e depois aplicar a condição para determinar a constante.

Passo 2

Reescrevendo identificamos a diferencial exata
x\,dx + y\,dy = d\Bigl(\tfrac12x^2 + \tfrac12y^2\Bigr).
Logo a equação fica
d\Bigl(\tfrac12x^2 + \tfrac12y^2\Bigr)=0.

Passo 3

Integrando ambos os lados obtemos
\tfrac12x^2 + \tfrac12y^2 = C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para achar C, usamos y(0)=-2. Substituindo x=0 e y=-2 em \tfrac12x^2 + \tfrac12y^2 = C
\tfrac12\cdot0^2 + \tfrac12\cdot(-2)^2 = C \quad\implies\quad C = \tfrac12\cdot4 = 2.

Passo 5

Multiplicando tudo por 2 para simplificar, obtemos a relação geral
x^2 + y^2 = 4.
Dessa forma
y^2 = 4 - x^2 \quad\implies\quad y = \pm \sqrt{4 - x^2}.

Passo 6

A condição y(0)=-2 exige o ramo negativo, logo
y(x) = -\sqrt{4 - x^2}.

Resposta

y(x) = -\sqrt{4 - x^2}.

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