Resolva as equações separáveis a seguir.
x e^{x^{2}} d x+\left(y^{5}-1\right) d y=0 ; y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial separável
x\,e^{x^{2}}\,dx + \bigl(y^{5}-1\bigr)\,dy = 0
com condição inicial y(0)=0.
Conteúdo: equações diferenciais separáveis. Vamos separar as variáveis e integrar em x e em y.

Passo 2

Separe as variáveis de modo a ter um termo só em x e outro só em y:
x\,e^{x^{2}}\,dx = -\bigl(y^{5}-1\bigr)\,dy.
Agora integre ambos os lados:
\int x\,e^{x^{2}}\,dx = \int -\bigl(y^{5}-1\bigr)\,dy.
No lado de x: use a substituição u=x^{2}, du=2x\,dx, logo
\int x\,e^{x^{2}}\,dx = \frac12 \int e^{u}\,du = \frac12 e^{x^{2}}.
No lado de y:
\int -\bigl(y^{5}-1\bigr)\,dy = -\int y^{5}\,dy + \int 1\,dy = -\frac{y^{6}}{6} + y.

Passo 3

Reunindo, a primitiva geral é
\frac12 e^{x^{2}} - \frac{y^{6}}{6} + y = C.
Use a condição inicial y(0)=0:
\frac12 e^{0^{2}} - \frac{0^{6}}{6} + 0 = \frac12 = C.

Passo 4

Substituindo C=\tfrac12, a solução implícita satisfaz
\frac12 e^{x^{2}} - \frac{y^{6}}{6} + y = \frac12.
Podemos reorganizar se quisermos:
\frac12 e^{x^{2}} + \frac{y^{6}}{6} - y = \frac12.

Resposta

\frac12 e^{x^{2}} + \frac{y^{6}}{6} - y = \frac12.

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