Determine um fator integrante apropriado para cada equação e resolva-a.
Passo 1
O enunciado dá a diferencial
e pede um fator integrante apropriado e a solução da equação. Trata-se de uma equação diferencial exata após multiplicar por um fator integrante. Vamos identificar
e
, checar a não exatidão, buscar um fator integrante que dependa só de
ou só de
, e então resolver integrando.
Passo 2
Escrevendo
verificamos exatidão calculando
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Testamos um fator integrante
. A condição típica é que
deva depender somente de
. Calculamos
então
que depende apenas de
. Logo podemos tomar
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
Agora
e
. Verificamos exatidão:
e
, logo a equação é exata.
Passo 5
Procuramos uma função potencial
tal que
Integramos
em relação a
:
Derivando em
e igualando a
:
Portanto
A solução implícita é
Resposta
O fator integrante é
e a solução geral é