Determine um fator integrante apropriado para cada equação e resolva-a.
2 x y d x+y^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado dá a diferencial
2x\,y\,dx + y^{2}\,dy = 0
e pede um fator integrante apropriado e a solução da equação. Trata-se de uma equação diferencial exata após multiplicar por um fator integrante. Vamos identificar M(x,y) e N(x,y), checar a não exatidão, buscar um fator integrante que dependa só de y ou só de x, e então resolver integrando.

Passo 2

Escrevendo
M(x,y)=2x\,y, \quad N(x,y)=y^{2},
verificamos exatidão calculando
\frac{\partial M}{\partial y}=2x, \quad \frac{\partial N}{\partial x}=0.
Como \partial M/\partial y \neq \partial N/\partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Testamos um fator integrante \mu(y). A condição típica é que
\frac{1}{M}\bigl(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\bigr)
deva depender somente de y. Calculamos
\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y} =0 - 2x = -2x,
então
\frac{1}{M}\bigl(0-2x\bigr) =\frac{-2x}{2x\,y}=-\frac1y,
que depende apenas de y. Logo podemos tomar
\mu(y)=\exp\Bigl(\int -\frac{1}{y}\,dy\Bigr) =\exp(-\ln|y|) =\frac{1}{y}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(y)=1/y, obtendo
2x\,dx + y\,dy =0.
Agora M^*(x,y)=2x e N^*(x,y)=y. Verificamos exatidão: \partial M^*/\partial y=0 e \partial N^*/\partial x=0, logo a equação é exata.

Passo 5

Procuramos uma função potencial F(x,y) tal que
\frac{\partial F}{\partial x}=2x, \quad \frac{\partial F}{\partial y}=y.
Integramos \partial F/\partial x=2x em relação a x:
F(x,y)=x^{2}+h(y).
Derivando em y e igualando a N^*:
\frac{\partial F}{\partial y}=h'(y)=y \;\Longrightarrow\; h(y)=\frac{y^{2}}{2}.
Portanto
F(x,y)=x^{2}+\frac{y^{2}}{2}.
A solução implícita é
F(x,y)=C \;\Longrightarrow\; x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=C.

Resposta

O fator integrante é \displaystyle \mu(y)=\frac{1}{y} e a solução geral é
x^{2}+\frac{y^{2}}{2}=C.

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