Resolva as equações usando a transformada de Laplace
l y^prime prime-6 y^prime+9 y=t, y(0) =0, y^prime(0)=1

Passo 1

O exercício pede para resolver a EDO y'' - 6y' + 9y = t com condições iniciais y(0) = 0 e y'(0) = 1 usando transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades de Ly', Ly'' e a tabela de transformadas, especialmente Lt = 1/s^2.

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Lembrando que Ly'(s) = sY(s) - y(0) e Ly''(s) = s^2Y(s) - s,y(0) - y'(0). Logo:
(s^2Y(s) - 1) - 6,(sY(s)) + 9,Y(s) = 1s^2

Passo 3

Agora somamos os termos semelhantes em Y(s) e isolamos Y(s):
(s^2 - 6s + 9),Y(s) - 1 = 1s^2
Portanto:
Y(s) = 1 + 1s^2(s - 3)^2 = s^2 + 1s^2 (s - 3)^2

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais para inverter a transformada. Escrevemos:
s^2 + 1s^2 (s - 3)^2 = As + Bs^2 + Cs - 3 + D(s - 3)^2
Multiplicando por s^2 (s - 3)^2 e comparando coeficientes de potências de s, obtemos um sistema para A,B,C,D.

Passo 5

Resolvendo o sistema de comparação de coeficientes, encontramos:
B = 19, A = 227, C = -227, D = 109

Passo 6

Agora aplicamos a transformada inversa a cada termo usando:
  • L^-11/s = 1
  • L^-11/s^2 = t
  • L^-11/(s - 3) = e^3t
  • L^-11/(s - 3)^2 = t e^3t
    Logo:
y(t) = 227 cdot 1 + 19,t - 227e^3t + 109t,e^3t

Resposta

y(t) = 227 + 19t - 227e^3t + 109t e^3t

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