Resolva as equações:
2 x^3-9 x^2+12 x+6=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação cúbica
2x^3 - 9x^2 + 12x + 6 = 0
Como não encontramos raízes racionais simples pelo Teorema das Raízes Racionais, vamos aplicar o método de Cardano, que consiste em:
  1. Transformar a equação numérica em forma monômica (coeficiente de x^3 igual a 1) dividindo por 2.
  2. Fazer a mudança de variável x = t + a para eliminar o termo em t^2 e chegar a um cúbico “deprimido” t^3 + p,t + q =0.
  3. Usar a fórmula de Cardano para obter as raízes em termos de radicais.

Passo 2

Dividindo tudo por 2, obtemos
x^3 - 92x^2 + 6x + 3 = 0
Para eliminar o termo em x^2, fazemos
x = t + a, a = 923 = 32
Substituindo x = t + tfrac32 e expandindo, simplifica-se para o cúbico deprimido
t^3 + p,t + q = 0
com
p = -34, q = 214

Passo 3

Na forma deprimida t^3+p,t+q=0, define-se o discriminante
De<a = l(tfracq2r)^2 + l(tfracp3r)^3 = l(tfrac218r)^2 + l(-tfrac312r)^3 = 558 > 0
Como De<a>0, há uma raiz real e duas complexas conjugadas. A raiz real de t é
t1 = raiz[3]-tfracq2 + raizDe<a + raiz[3]-tfracq2 - raizDe<a = raiz[3]-tfrac218 + raiztfrac558 + raiz[3]-tfrac218 - raiztfrac558
Observando que raiztfrac558 = tfracraiz1108, podemos escrever
t1 = raiz[3]-21 + raiz1108 + raiz[3]-21 - raiz1108

Passo 4

Voltando à variável original x = t + tfrac32, a raiz real fica
x1 = 32 + raiz[3]-21 + raiz1108 + raiz[3]-21 - raiz1108
As outras duas raízes, complexas conjugadas, vêm da fórmula completa de Cardano:
t2,3 = -tfrac12l(U+Vr) pm i,tfracraiz32l(U - Vr),
onde
U = raiz[3]-21 + raiz1108, V = raiz[3]-21 - raiz1108
Logo,
x2,3 = 32 - 12l(U+Vr) pm i,raiz32l(U-Vr)

Resposta

x1 = 32 + raiz[3]-21 + raiz1108 + raiz[3]-21 - raiz1108
x2,3 = 32 - 12l(raiz[3]tfrac-21 + raiz1108 +raiz[3]tfrac-21 - raiz1108r) ;pm; i,raiz32l(raiz[3]tfrac-21 + raiz1108 -raiz[3]tfrac-21 - raiz1108r)

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