Resolva as equações:
2 x^4-4 x^3+4 x-2=0;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação polinomial de quarto grau
2x^4 - 4x^3 + 4x - 2 = 0
O conteúdo aqui é fatoração de polinômios e busca de raízes por decomposição em fatores de grau menor.

Passo 2

Para simplificar, dividimos toda a equação por 2, já que 2neq0, obtendo
x^4 - 2x^3 + 2x - 1 = 0

Passo 3

Vamos tentar fatorar o polinômio de grau 4 em dois quadráticos genéricos:
x^4 - 2x^3 + 2x - 1 = (x^2 + a x + b),(x^2 + c x + d)

Passo 4

Comparando coeficientes, temos o sistema
a + c = -2, ac + b + d = 0, ad + b c = 2, b,d = -1
Como b,d=-1, testamos (b,d)=(1,-1). Dessas escolhas, chega-se a
a=-2, c=0, b=1, d=-1,
o que satisfaz todas as equações.

Passo 5

Substituindo de volta, a fatoração fica
x^4 - 2x^3 + 2x - 1 = (x^2 -2x +1),(x^2 -1)
Repare que x^2-2x+1=(x-1)^2 e x^2-1=(x-1)(x+1). Logo
x^4 - 2x^3 + 2x - 1 = (x-1)^2,(x-1),(x+1) = (x-1)^3,(x+1)

Passo 6

As raízes da equação são os valores de x que zeram cada fator:
(x-1)^3=0 implies x=1 e (x+1)=0 implies x=-1

Resposta

As soluções são
x=1 (multiplicidade 3) e x=-1.

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