Exercício 1. (Apostol seção 12.6 exercício 2, 3, 4,7,8 )
Calcule a área da intersecção entre o plano x+y+z=a e o cilindro x^2+y^2 <= a.

Passo 1

O enunciado pede a área da região plana que é a intersecção entre o plano
x + y + z = a
e o cilindro
x^2 + y^2 <= a
O conteúdo aqui é cálculo de área de superfície para a parte do gráfico de z=f(x,y) sobre o domínio projetado no plano xy.

Passo 2

Escrevemos o plano como gráfico de uma função z=f(x,y). Isolando z,
z = f(x,y) = a - x - y

Passo 3

A fórmula da área da superfície S definida por z=f(x,y) sobre um domínio DsubsetR^2 é
Area(S) = integral duplaD raiz1 + l(fx(x,y)r)^2 + l(fy(x,y)r)^2,dA

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais de f:
fx = partialpartial x(a - x - y) = -1, fy = partialpartial y(a - x - y) = -1
Logo o integrando fica constante:
raiz1 + (-1)^2 + (-1)^2 = raiz3
O domínio D é o disco
(x,y)mid x^2+y^2<= a, cujo área vale pi a.

Passo 5

Substituindo na integral:
Area(S) = integral duplaD raiz3,dA = raiz3,l(área de Dr) = raiz3,pi a á

Resposta

Area = pi a raiz3

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