Resolva as equações:
x^{4}=-i.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação x^{4} = -i.
Informações dadas: a equação procura os números complexos x tais que a quarta potência de x é -i.
O objetivo final é listar todas as soluções complexas x que satisfazem \;x^{4}=-i.

Passo 2

Método escolhido (explicado de modo didático): vamos representar números complexos em forma polar (módulo e argumento) e usar o fato que, em forma polar, elevar à potência e extrair raízes fica muito simples. Vou ensinar o que é isso:
  • Um número complexo z pode ser escrito em forma polar como
z = r(\cos\theta + i\sin\theta),
onde r\ge 0 é o módulo (distância ao zero) e \theta é o argumento (ângulo medido a partir do eixo real positivo). Aqui r=|z| e \theta=\arg(z).
  • A forma exponencial (ou fórmula de De Moivre) diz que
\bigl(r(\cos\theta + i\sin\theta)\bigr)^n = r^n(\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)).
Isto facilita muito achar as raízes: se queremos x^n = R(\cos\Phi + i\sin\Phi) com R>0, então as n raízes são
x_k = R^{1/n}\left(\cos\frac{\Phi+2\pi k}{n} + i\sin\frac{\Phi+2\pi k}{n}\right),
para k=0,1,\dots,n-1. Vou aplicar isto com n=4 e R=1 (porque |-i|=1).

Passo 3

Vamos colocar -i em forma polar. O ponto -i no plano complexo é (0,-1), portanto o módulo é
| -i | = 1,
e um argumento conveniente é
\arg(-i) = -\frac{\pi}{2}
(ou alternativamente \frac{3\pi}{2}; ambas representam a mesma direção). Vou usar \Phi=-\frac{\pi}{2} porque fica direto ao dividir por 4.
Assim -i = 1\bigl(\cos(-\tfrac{\pi}{2}) + i\sin(-\tfrac{\pi}{2})\bigr).

Passo 4

Aplicando a fórmula das n-ésimas raízes com n=4, R=1 e \Phi=-\tfrac{\pi}{2}, obtemos as quatro soluções
x_k = 1^{1/4}\left(\cos\frac{-\tfrac{\pi}{2}+2\pi k}{4} + i\sin\frac{-\tfrac{\pi}{2}+2\pi k}{4}\right)
para k=0,1,2,3. Como 1^{1/4}=1, simplificamos o argumento:
\theta_k = \frac{-\tfrac{\pi}{2}+2\pi k}{4} = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2}k.

Passo 5

Calculemos as quatro direções \theta_k e escrevamos as raízes em forma trigonométrica.
  • Para k=0:
\theta_0 = -\frac{\pi}{8},\quad x_0 = \cos\!\left(-\frac{\pi}{8}\right) + i\sin\!\left(-\frac{\pi}{8}\right).
  • Para k=1:
\theta_1 = -\frac{\pi}{8} + \frac{\pi}{2} = \frac{3\pi}{8},\quad x_1 = \cos\!\left(\frac{3\pi}{8}\right) + i\sin\!\left(\frac{3\pi}{8}\right).
  • Para k=2:
\theta_2 = -\frac{\pi}{8} + \pi = \frac{7\pi}{8},\quad x_2 = \cos\!\left(\frac{7\pi}{8}\right) + i\sin\!\left(\frac{7\pi}{8}\right).
  • Para k=3:
\theta_3 = -\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{2} = \frac{11\pi}{8},\quad x_3 = \cos\!\left(\frac{11\pi}{8}\right) + i\sin\!\left(\frac{11\pi}{8}\right).
Essas quatro são as soluções em forma trigonométrica. Vou agora converter para a forma a+bi usando identidades trigonométricas exatas.

Passo 6

Precisamos dos valores exatos de \cos e \sin para os ângulos envolvidos. Note que todos os ângulos podem ser relacionados a \pi/8 e 3\pi/8. Vamos obter fórmulas úteis:
Usando fórmulas de meia-ângulo a partir de \cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}, temos
\cos\frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2},
\sin\frac{\pi}{8} = \sqrt{\frac{1-\cos\frac{\pi}{4}}{2}} = \sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.
Também usaremos relações de simetria:
\cos\!\left(-\frac{\pi}{8}\right)=\cos\frac{\pi}{8},\qquad \sin\!\left(-\frac{\pi}{8}\right)=-\sin\frac{\pi}{8},
\cos\!\left(\frac{3\pi}{8}\right)=\sin\frac{\pi}{8},\qquad \sin\!\left(\frac{3\pi}{8}\right)=\cos\frac{\pi}{8},
\cos\!\left(\frac{7\pi}{8}\right)=-\cos\frac{\pi}{8},\qquad \sin\!\left(\frac{7\pi}{8}\right)=\sin\frac{\pi}{8},
\cos\!\left(\frac{11\pi}{8}\right)=-\cos\frac{3\pi}{8}=-\sin\frac{\pi}{8},\qquad \sin\!\left(\frac{11\pi}{8}\right)=-\sin\frac{3\pi}{8}=-\cos\frac{\pi}{8}.

Passo 7

Substituindo os valores e simplificando, escrevemos as quatro raízes na forma a+bi:
  • Para x_0 (ângulo -\tfrac{\pi}{8}):
x_0 = \cos\!\left(-\frac{\pi}{8}\right)+i\sin\!\left(-\frac{\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} - i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.
  • Para x_1 (ângulo \tfrac{3\pi}{8}):
x_1 = \cos\!\left(\frac{3\pi}{8}\right)+i\sin\!\left(\frac{3\pi}{8}\right) = \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} + i\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.
  • Para x_2 (ângulo \tfrac{7\pi}{8}):
x_2 = \cos\!\left(\frac{7\pi}{8}\right)+i\sin\!\left(\frac{7\pi}{8}\right) = -\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} + i\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}.
  • Para x_3 (ângulo \tfrac{11\pi}{8}):
x_3 = \cos\!\left(\frac{11\pi}{8}\right)+i\sin\!\left(\frac{11\pi}{8}\right) = -\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} - i\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}.
Cada uma dessas pode ser verificada elevando-se à quarta potência (pela fórmula de De Moivre) e conferindo que o resultado é -i.

Resposta

\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} - i\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}
\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}
-\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} + i\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}
-\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} - i\dfrac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}

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