Resolva as equações:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
.
Informações dadas: a equação procura os números complexos tais que a quarta potência de
é
.
O objetivo final é listar todas as soluções complexas que satisfazem
.
Informações dadas: a equação procura os números complexos
O objetivo final é listar todas as soluções complexas
Passo 2
Método escolhido (explicado de modo didático): vamos representar números complexos em forma polar (módulo e argumento) e usar o fato que, em forma polar, elevar à potência e extrair raízes fica muito simples. Vou ensinar o que é isso:
- Um número complexo
pode ser escrito em forma polar como
onde
é o módulo (distância ao zero) e
é o argumento (ângulo medido a partir do eixo real positivo). Aqui
e
.
- A forma exponencial (ou fórmula de De Moivre) diz que
Isto facilita muito achar as raízes: se queremos
com
, então as
raízes são
para
. Vou aplicar isto com
e
(porque
).
Passo 3
Vamos colocar
em forma polar. O ponto
no plano complexo é
, portanto o módulo é
e um argumento conveniente é
(ou alternativamente
; ambas representam a mesma direção). Vou usar
porque fica direto ao dividir por
.
Assim
.
Passo 4
Aplicando a fórmula das
-ésimas raízes com
,
e
, obtemos as quatro soluções
para
. Como
, simplificamos o argumento:
Passo 5
Calculemos as quatro direções
e escrevamos as raízes em forma trigonométrica.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Essas quatro são as soluções em forma trigonométrica. Vou agora converter para a forma
usando identidades trigonométricas exatas.
Passo 6
Precisamos dos valores exatos de
e
para os ângulos envolvidos. Note que todos os ângulos podem ser relacionados a
e
. Vamos obter fórmulas úteis:
Usando fórmulas de meia-ângulo a partir de
, temos
Também usaremos relações de simetria:
Passo 7
Substituindo os valores e simplificando, escrevemos as quatro raízes na forma
:
- Para
(ângulo ):
- Para
(ângulo ):
- Para
(ângulo ):
- Para
(ângulo ):
Cada uma dessas pode ser verificada elevando-se à quarta potência (pela fórmula de De Moivre) e conferindo que o resultado é
.