Resolva as equações:
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar todas as soluções da equação quadrática
Informações dadas que vamos usar:
A pergunta é: quais são os valores de
que satisfazem essa equação (ou seja, encontrar as raízes complexas)?
Passo 2
Vamos aplicar a fórmula resolvente (fórmula de Bhaskara) para uma equação do tipo
. A fórmula diz:
onde o discriminante é
Aqui
,
e
podem ser números complexos; a fórmula vale do mesmo modo. Vou calcular
com os valores acima.
Passo 3
Calculemos
. Lembrando que
:
Passo 4
Calculemos
. Como
e
,
Passo 5
Agora o discriminante:
Então
.
Passo 6
Precisamos da raiz quadrada de
, isto é um número complexo
tal que
Vou explicar como encontrar
e
de maneira direta: expandindo,
Isso deve ser igual a
. Igualando parte real e imaginária obtemos o sistema
Passo 7
Da segunda equação temos
, logo
(supondo
; se
o produto seria zero e não daria
, então
). Substituindo na primeira:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Esta é uma quadrática em
:
Passo 8
Resolvendo a quadrática em
:
Portanto as soluções são
Como
deve ser real não negativo, escolhemos
, ou seja
.
Passo 9
Para
temos
. Para
temos
. Ambos dão a mesma raiz quadrada com sinais trocados:
Ou seja, uma raiz de
é
e a outra é
(como sempre, raízes quadradas vêm aos pares
).
Passo 10
Agora aplicamos a fórmula resolvente. Como
e
(lembre que
), temos
Vou calcular as duas opções explicitamente.
Passo 11
Somando o sinal
:
Passo 12
Tomando o sinal
:
Passo 13
É sempre bom checar rapidamente: podemos multiplicar
e ver se volta o polinômio original. Calculando a constante:
e o coeficiente de
resulta em
. Isso coincide com o polinômio dado, então as raízes estão corretas.