Resolva as equações:
x^{2}-(3-2 i) x+5-5 i=0.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as soluções da equação quadrática
x^{2}-(3-2 i)x+5-5 i=0.
Informações dadas que vamos usar:
\text{coeficiente }a=1,\qquad \text{coeficiente }b=-(3-2 i) = -3+2 i,\qquad \text{termo constante }c=5-5 i.
A pergunta é: quais são os valores de x que satisfazem essa equação (ou seja, encontrar as raízes complexas)?

Passo 2

Vamos aplicar a fórmula resolvente (fórmula de Bhaskara) para uma equação do tipo ax^{2}+bx+c=0. A fórmula diz:
x=\frac{-b\pm\sqrt{\,\Delta\,}}{2a},
onde o discriminante é
\Delta=b^{2}-4ac.
Aqui a, b e c podem ser números complexos; a fórmula vale do mesmo modo. Vou calcular \Delta com os valores acima.

Passo 3

Calculemos b^{2}. Lembrando que b=-3+2 i:
b^{2}=(-3+2 i)^{2}=(-3)^{2}+2\cdot(-3)\cdot(2 i)+(2 i)^{2}=9-12 i+4 i^{2}=9-12 i-4=5-12 i.

Passo 4

Calculemos 4ac. Como a=1 e c=5-5 i,
4ac=4\cdot1\cdot(5-5 i)=20-20 i.

Passo 5

Agora o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=(5-12 i)-(20-20 i)=-15+8 i.
Então \Delta=-15+8 i.

Passo 6

Precisamos da raiz quadrada de \Delta, isto é um número complexo u+iv tal que
(u+iv)^{2}=-15+8 i.
Vou explicar como encontrar u e v de maneira direta: expandindo,
(u+iv)^{2}=u^{2}-v^{2}+2uv\,i.
Isso deve ser igual a -15+8 i. Igualando parte real e imaginária obtemos o sistema
\begin{cases} u^{2}-v^{2}=-15,\\[4pt] 2uv=8. \end{cases}]

Passo 7

Da segunda equação temos uv=4, logo v=\dfrac{4}{u} (supondo u\neq0; se u=0 o produto seria zero e não daria 8, então u\neq0). Substituindo na primeira:
u^{2}-\left(\frac{4}{u}\right)^{2}=-15.
Multiplicando ambos os lados por u^{2} para eliminar o denominador:
u^{4}+15u^{2}-16=0.
Esta é uma quadrática em t=u^{2}:
t^{2}+15t-16=0.

Passo 8

Resolvendo a quadrática em t:
t=\frac{-15\pm\sqrt{15^{2}+4\cdot16}}{2}=\frac{-15\pm\sqrt{225+64}}{2}=\frac{-15\pm\sqrt{289}}{2}=\frac{-15\pm17}{2}.
Portanto as soluções são
t_{1}=1,\qquad t_{2}=-16.
Como t=u^{2} deve ser real não negativo, escolhemos u^{2}=1, ou seja u=\pm1.

Passo 9

Para u=1 temos v=4/u=4. Para u=-1 temos v=4/(-1)=-4. Ambos dão a mesma raiz quadrada com sinais trocados:
(1+4 i)^{2}=-15+8 i\qquad\text{e}\qquad(-1-4 i)^{2}=-15+8 i.
Ou seja, uma raiz de \Delta é 1+4 i e a outra é -1-4 i (como sempre, raízes quadradas vêm aos pares \pm).

Passo 10

Agora aplicamos a fórmula resolvente. Como a=1 e -b=3-2 i (lembre que b=-3+2i), temos
x=\frac{3-2 i \pm (1+4 i)}{2}.
Vou calcular as duas opções explicitamente.

Passo 11

Somando o sinal +:
x_{1}=\frac{3-2 i +1+4 i}{2}=\frac{4+2 i}{2}=2+i.

Passo 12

Tomando o sinal -:
x_{2}=\frac{3-2 i -1-4 i}{2}=\frac{2-6 i}{2}=1-3 i.

Passo 13

É sempre bom checar rapidamente: podemos multiplicar (x-(2+i))(x-(1-3i)) e ver se volta o polinômio original. Calculando a constante:
(2+i)(1-3 i)=2-6 i+i-3 i^{2}=2-5 i+3=5-5 i,
e o coeficiente de x resulta em -(3-2 i). Isso coincide com o polinômio dado, então as raízes estão corretas.

Resposta

2+i
1-3 i

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