Encontre a solução geral de cada EDO abaixo:
y^prime-12 x y=-y^5

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO y' - 12xy = -y^5. Esse tipo de equação é uma Bernoulli de primeira ordem, pois tem a forma y' + P(x)y = Q(x)y^n. Vamos usar métodos de equação linear em uma variável auxiliar.

Passo 2

Reescrevendo na forma padrão de Bernoulli, identificamos
P(x) = -12x, Q(x) = -1, n = 5

Passo 3

Para transformar em linear, fazemos a substituição típica de Bernoulli
u = y^1-n = y^-4
Agora precisamos de u'. Como u = y^-4,
u' = -4y^-5y'

Passo 4

Substituindo y' da EDO original em u' temos
u' = -4y^-5l(tfrac12xy - y^5r) = -4l(tfrac12xy^-4 - 1r) = -2x,u + 4
Ou seja, a equação em u fica linear:
u' + 2x,u = 4

Passo 5

Para resolver essa linear, usamos o fator integrante
mu(x) = e^integral 2xdx = x^2
Multiplicando a equação por x^2
(x^2u)' = 4x^2
Integrando em relação a x:
x^2u = integral 4x^2dx = tfrac43x^3 + K,
onde K é constante de integração.

Passo 6

Voltando à variável original, temos
y^-4 = u = 43x + Kx^-2
Isolando y:
y = pml(tfrac43x + Kx^-2r)^-1/4

Passo 7

Podemos ainda reescrever de forma mais elegante agrupando o denominador. Definindo outra constante arbitrária C = 3K, chega-se a
y(x) = pml(tfrac3x^24x^3 + Cr)^1/4,
que é a solução geral da EDO.

Resposta

y(x) = pml(tfrac3x^24x^3 + Cr)^1/4, onde C é constante de integração.

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