Encontre a solução geral de cada EDO abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da EDO
. Esse tipo de equação é uma Bernoulli de primeira ordem, pois tem a forma
. Vamos usar métodos de equação linear em uma variável auxiliar.
Passo 2
Reescrevendo na forma padrão de Bernoulli, identificamos
Passo 3
Para transformar em linear, fazemos a substituição típica de Bernoulli
Agora precisamos de
. Como
,
Passo 4
Substituindo
da EDO original em
temos
Ou seja, a equação em
fica linear:
Passo 5
Para resolver essa linear, usamos o fator integrante
Multiplicando a equação por
dá
Integrando em relação a
:
onde
é constante de integração.
Passo 6
Voltando à variável original, temos
Isolando
:
Passo 7
Podemos ainda reescrever de forma mais elegante agrupando o denominador. Definindo outra constante arbitrária
, chega-se a
que é a solução geral da EDO.