Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(1) an=3+5 n^2n+n^2
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Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
(2) an=n^4n^3-2 n

Passo 1

O enunciado pede para determinar convergência ou divergência e, se houver convergência, encontrar o limite das sequências an=3+5n^2n+n^2 e an=n^4n^3-2n. Vamos usar limites de sequências racionais, dividindo numerador e denominador pela maior potência de n.

Passo 2

Para an=3+5n^2n+n^2, o maior grau em numerador e denominador é 2. Dividindo ambos por n^2:
3+5n^2n+n^2=tfrac3n^2+5tfracnn^2+1=tfrac3n^2+5tfrac1n+1
Quando ntoinfty, temos tfrac3n^2to0 e tfrac1nto0, ficando limite igual a 5/1=5. Logo a sequência converge para 5.

Passo 3

Para an=n^4n^3-2n, o maior grau no numerador é 4 e no denominador é 3. Fatorando n^3 no denominador:
n^4n^3-2n=n^4n^3l(1-2/n^2r)=n1-2/n^2
À medida que ntoinfty, o denominador tende a 1 e a expressão cresce como n, ou seja, anto+infty. Portanto diverge.

Passo 4

Concluímos que a primeira sequência converge e a segunda diverge.

Resposta

A sequência an=3+5n^2n+n^2 converge e seu limite é 5. A sequência an=n^4n^3-2n diverge (vai para +∞).

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