Resolva as equações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e objetivo:
- Temos uma equação diferencial linear de ordem três com coeficientes constantes.
- O termo independente (lado direito) é
. - A tarefa é encontrar a solução geral
, ou seja, a solução geral da parte homogênea somada a uma solução particular que reproduza o lado direito.
Passo 2
Encontrar a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, com RHS igual a zero).
Escrevemos a equação homogênea
Escrevemos a equação homogênea
e procuramos soluções da forma
. Substituindo, obtemos o polinômio característico
Fatoramos por agrupamento:
As raízes são
e
. Explicação didática: cada raiz
dá uma solução
. Se a raiz for complexa
(com
), as soluções reais associadas são
e
. Aqui temos
, que corresponde a
,
, logo produz
e
.
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Escolha de um palpite para a solução particular (método dos coeficientes indeterminados).
O lado direito é , que é a parte imaginária de
. Uma escolha natural de palpite é
O lado direito é
com
constantes a determinar. Justificativa: o palpite tem a mesma forma (exponencial vezes seno/cosseno). Antes de aplicar, checamos se
é raiz do polinômio característico; como as raízes da homogênea são
e
, vemos que
NÃO é raiz. Logo o palpite acima é válido sem multiplicar por
.
Passo 4
Calcular
,
,
de forma organizada.
Para evitar contas repetitivas, considere que multiplicar por e derivar gera uma transformação linear nos coeficientes de
e
. Se escrevemos
Para evitar contas repetitivas, considere que multiplicar por
então ao derivar:
onde
Aplicando a mesma regra para obter
e
(isto é, reaplicando a transformação aos coeficientes), obtemos:
- Partindo de
(nosso palpite), -
. - Para
: , . - Para
: , .
Assim escrevemos:
Passo 5
Substituir
na equação diferencial e igualar coeficientes.
Aplique o operador no palpite:
Aplique o operador no palpite:
Como todos os termos têm fator comum
, retiramos esse fator e combinamos os coeficientes das funções
e
.
Coeficiente de
:
Calculando passo a passo:
Coeficiente de
:
Calculando:
Portanto
Queremos que isso seja igual ao lado direito
. Igualando coeficientes de
e
obtemos o sistema:
Logo
Passo 6
Escrever a solução particular e a solução geral.
Com e
temos
Com
A solução geral é a soma da homogênea com a particular: