Resolva as equações.
y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=e^{-x} \operatorname{sen} x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+y^{\prime}-y=e^{-x}\sin x.
Informações dadas e objetivo:
  • Temos uma equação diferencial linear de ordem três com coeficientes constantes.
  • O termo independente (lado direito) é \,e^{-x}\sin x.
  • A tarefa é encontrar a solução geral y(x), ou seja, a solução geral da parte homogênea somada a uma solução particular que reproduza o lado direito.

Passo 2

Encontrar a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, com RHS igual a zero).
Escrevemos a equação homogênea
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+y^{\prime}-y=0
e procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo, obtemos o polinômio característico
r^3-r^2+r-1=0.
Fatoramos por agrupamento:
r^3-r^2+r-1=(r^3-r^2)+(r-1)=r^2(r-1)+(r-1)=(r-1)(r^2+1).
As raízes são r=1 e r=\pm i. Explicação didática: cada raiz r dá uma solução e^{rx}. Se a raiz for complexa a\pm bi (com b\neq0), as soluções reais associadas são e^{ax}\cos(bx) e e^{ax}\sin(bx). Aqui temos r=\pm i, que corresponde a a=0, b=1, logo produz \cos x e \sin x.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_h=C_1 e^{x}+C_2\cos x + C_3\sin x,
onde C_1,C_2,C_3 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Escolha de um palpite para a solução particular (método dos coeficientes indeterminados).
O lado direito é \,e^{-x}\sin x, que é a parte imaginária de e^{(-1+i)x}. Uma escolha natural de palpite é
y_p=e^{-x}\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr),
com A,B constantes a determinar. Justificativa: o palpite tem a mesma forma (exponencial vezes seno/cosseno). Antes de aplicar, checamos se r=-1\pm i é raiz do polinômio característico; como as raízes da homogênea são 1 e \pm i, vemos que -1\pm i NÃO é raiz. Logo o palpite acima é válido sem multiplicar por x.

Passo 4

Calcular y_p', y_p'', y_p''' de forma organizada.
Para evitar contas repetitivas, considere que multiplicar por e^{-x} e derivar gera uma transformação linear nos coeficientes de \cos x e \sin x. Se escrevemos
y=e^{-x}\bigl(P\cos x + Q\sin x\bigr),
então ao derivar:
y'=e^{-x}\bigl(P_1\cos x + Q_1\sin x\bigr),
onde
P_1=-P+Q,\qquad Q_1=-P-Q.
Aplicando a mesma regra para obter y'' e y''' (isto é, reaplicando a transformação aos coeficientes), obtemos:
  • Partindo de P=A,\;Q=B (nosso palpite),
  • P_1=-A+B,\;Q_1=-A-B.
  • Para y'': P_2=-P_1+Q_1=-(-A+B)+(-A-B)= -2B, Q_2=-P_1-Q_1=-(-A+B)-(-A-B)=2A.
  • Para y''': P_3=-P_2+Q_2=-(-2B)+2A=2(A+B), Q_3=-P_2-Q_2=-(-2B)-2A=2(B-A).
Assim escrevemos:
y_p=e^{-x}\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr),
y_p'=e^{-x}\bigl((-A+B)\cos x + (-A-B)\sin x\bigr),
y_p''=e^{-x}\bigl((-2B)\cos x + (2A)\sin x\bigr),
y_p'''=e^{-x}\bigl(2(A+B)\cos x + 2(B-A)\sin x\bigr).

Passo 5

Substituir y_p,y_p',y_p'',y_p''' na equação diferencial e igualar coeficientes.
Aplique o operador no palpite:
L[y_p]=y_p'''-y_p''+y_p'-y_p.
Como todos os termos têm fator comum e^{-x}, retiramos esse fator e combinamos os coeficientes das funções \cos x e \sin x.
Coeficiente de \cos x:
P_3-P_2+P_1-P = 2(A+B) -(-2B) +(-A+B) - A.
Calculando passo a passo:
2A+2B+2B -A + B - A = (2A -A -A) + (2B+2B+B) = 0\cdot A +5B =5B.
Coeficiente de \sin x:
Q_3-Q_2+Q_1-Q = 2(B-A) - 2A +(-A-B) - B.
Calculando:
2B-2A-2A -A -B -B = (-5A) +0\cdot B = -5A.
Portanto
L[y_p]=e^{-x}\bigl(5B\cos x -5A\sin x\bigr).
Queremos que isso seja igual ao lado direito e^{-x}\sin x. Igualando coeficientes de \cos x e \sin x obtemos o sistema:
5B=0,\qquad -5A=1.
Logo
B=0,\qquad A=-\frac{1}{5}.

Passo 6

Escrever a solução particular e a solução geral.
Com A=-\frac{1}{5} e B=0 temos
y_p=-\frac{1}{5}e^{-x}\cos x.
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_1 e^{x}+C_2\cos x + C_3\sin x -\frac{1}{5}e^{-x}\cos x.

Resposta

y(x)=C_1 e^{x}+C_2\cos x + C_3\sin x -\frac{1}{5}e^{-x}\cos x

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