Resolva os exercícios abaixo utilizando as definições e propriedades do produto vetorial e do produto misto. Justifique todas as respostas.
Calcule o produto vetorial W=U times V e verifique se W é ortogonal a U e a V :
U=(1,1,-1) e V=(3,-0.5,1)

Passo 1

O enunciado pede para calcular o produto vetorial W = UtimesV e verificar se W é ortogonal a U e a V. Aqui usaremos a definição de produto vetorial em R^3 e depois conferiremos a ortogonalidade por meio do produto interno (dot).

Passo 2

A fórmula do produto vetorial é, para U=(U1,U2,U3) e V=(V1,V2,V3):
UtimesV =l(U2V3 - U3V2,;U3V1 - U1V3,;U1V2 - U2V1r)

Passo 3

Substituindo U1=1, U2=1, U3=-1 e V1=3, V2=-0,5, V3=1:
(UtimesV)1 &= U2V3 - U3V2 = 1cdot1 - (-1)cdot(-0,5) = 1 - 0,5 = 0,5, (UtimesV)2 &= U3V1 - U1V3 = (-1)cdot3 - 1cdot1 = -3 - 1 = -4, (UtimesV)3 &= U1V2 - U2V1 = 1cdot(-0,5) - 1cdot3 = -0,5 - 3 = -3,5

Passo 4

Portanto
W = UtimesV = (0,5,,-4,,-3,5)

Passo 5

Para verificar se W é ortogonal a U, calculamos o produto interno:
UcdotW =1cdot0,5 + 1cdot(-4) + (-1)cdot(-3,5) =0,5 - 4 + 3,5 = 0
Como o resultado é zero, W é ortogonal a U.

Passo 6

Para verificar se W é ortogonal a V, fazemos:
VcdotW =3cdot0,5 + (-0,5)cdot(-4) + 1cdot(-3,5) =1,5 + 2 - 3,5 = 0
O resultado também é zero, logo W é ortogonal a V.

Resposta

W = UtimesV = (0,5,,-4,,-3,5) e, de fato, W é ortogonal tanto a U quanto a V.

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