Sejam
e
números reais positivos. Mostre que:
a)
;
b)
.
a)
b)
Passo 1
O enunciado pede para provar duas equivalências envolvendo valor absoluto. Vamos usar o fato fundamental:
válido para qualquer expressão
e qualquer constante positiva
. A partir disso, basta transformar cada desigualdade em valor absoluto num triplo de desigualdades e isolar a variável.
Passo 2
(a) Começamos por
Pela definição de valor absoluto isso equivale a
Agora subtraímos
de todas as partes:
Calculamos as expressões:
Ficamos com
Como
, dividimos tudo por 2 e obtém-se
que é exatamente a desigualdade do enunciado. Portanto
Passo 3
(b) Agora consideramos
Subtraindo
em todas as partes, chega-se a
Calculamos:
Logo
que, pela definição de valor absoluto, equivale a
Assim
Resposta
a)
b)
b)