Sejam a e b números reais positivos. Mostre que:
a) -b<x<a Leftrightarrow|2 x+b-a|<a+b;
b) -2 b<x+a-b<2 a Leftrightarrow|x|<a+b.

Passo 1

O enunciado pede para provar duas equivalências envolvendo valor absoluto. Vamos usar o fato fundamental:
|u|<cLong<=ftrightarrow -c<u<c,
válido para qualquer expressão u e qualquer constante positiva c. A partir disso, basta transformar cada desigualdade em valor absoluto num triplo de desigualdades e isolar a variável.

Passo 2

(a) Começamos por
|2x + b - a| < a + b
Pela definição de valor absoluto isso equivale a
-(a+b)<2x + b - a<a+b
Agora subtraímos b - a de todas as partes:
-(a+b)-(b-a)<2x< (a+b)-(b-a)
Calculamos as expressões:
-(a+b)-(b-a)=-a-b-b+a=-2b,
(a+b)-(b-a)=a+b-b+a=2a
Ficamos com
-2b<2x<2a
Como 2>0, dividimos tudo por 2 e obtém-se
-b<x<a,
que é exatamente a desigualdade do enunciado. Portanto
|2x + b - a|<a+b Long<=ftrightarrow -b<x<a

Passo 3

(b) Agora consideramos
-2b < x + a - b < 2a
Subtraindo a-b em todas as partes, chega-se a
-2b-(a-b)<x<2a-(a-b)
Calculamos:
-2b-(a-b)=-2b-a+b=-(a+b),
2a-(a-b)=2a-a+b=a+b
Logo
-(a+b)<x<a+b,
que, pela definição de valor absoluto, equivale a
|x|<a+b
Assim
-2b<x+a-b<2a Long<=ftrightarrow |x|<a+b

Resposta

a) ;-b<x<aLeftrightarrow|2x+b-a|<a+b
b) ;-2b<x+a-b<2aLeftrightarrow|x|<a+b

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