Justifique ou dê contra-exemplo para as implicações seguintes:
b) |a|<|b| Rightarrow a^2<b^2

Passo 1

O enunciado pede para verificar se, para quaisquer números reais a e b, a desigualdade
|a|<|b|
implica necessariamente
a^2<b^2
O tema envolve propriedades do valor absoluto e monotonicidade da função quadrado em [0,infty).

Passo 2

Sabemos que para todo x,y>=0, se x<y então
x^2<y^2,
porque a função f(x)=x^2 é estritamente crescente em [0,infty).

Passo 3

Aplicando isso a x=|a| e y=|b|, que são não negativos, de |a|<|b| segue
|a|^2<|b|^2

Passo 4

Bastando usar a identidade |a|^2=a^2 e |b|^2=b^2, concluímos
a^2<b^2

Resposta

A implicação é verdadeira: de |a|<|b| segue a^2<b^2 pela estrita monotonicidade de xmapsto x^2 em [0,infty).

Exercícios relacionados