Resolva os exercícios abaixo utilizando as definições e propriedades do produto vetorial e do produto misto. Justifique todas as respostas.
Calcule a área do triângulo triang<= A B C sabendo que os pontos A, B e C são dados por:
A=(3,1,0), B=(1,1,3), C=(-1,4,1)

Passo 1

Resumindo, temos os pontos A=(3,1,0), B=(1,1,3) e C=(-1,4,1) no espaço. O conteúdo aqui é produto vetorial, pois a área do triângulo ABC pode ser obtida por
Área(triang<= ABC) ;=;12l|ABtimesACr| Á
Para isso, precisamos:
  1. Determinar AB e AC.
  2. Calcular ABtimesAC.
  3. Encontrar o módulo desse vetor e dividir por 2.

Passo 2

Calculamos os vetores relativos aos lados:
AB=B-A=(1-3,;1-1,;3-0)=(-2,;0,;3),
AC=C-A=(-1-3,;4-1,;1-0)=(-4,;3,;1)

Passo 3

Usando a definição do produto vetorial em termos de determinante,
ABtimesAC = i & j & k -2 & 0 & 3 -4 & 3 & 1 = l(0cdot1 - 3cdot3,;3cdot(-4)-(-2)cdot1,;(-2)cdot3 - 0cdot(-4)r)
Portanto,
ABtimesAC=(-9,,-10,,-6)

Passo 4

O módulo desse vetor é
l|(-9,-10,-6)r| =raiz(-9)^2+(-10)^2+(-6)^2 =raiz81+100+36 =raiz217

Passo 5

Logo, pela fórmula da área,
Área(triang<= ABC) =12,raiz217 Á

Resposta

raiz2172

Exercícios relacionados