Resolva os exercícios abaixo utilizando as definições e propriedades do produto vetorial e do produto misto. Justifique todas as respostas.
Calcule a área do triângulo triang<= A B C sabendo que os pontos A, B e C são dados por:
A=(1,1,0), B=(0,1,5), C=(1,1,2)

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo triang<= ABC com vértices
A=(1,1,0), B=(0,1,5), C=(1,1,2)
O conteúdo principal é o produto vetorial: sabemos que a área do triângulo é metade da magnitude do produto vetorial dos dois lados que partem de um mesmo vértice.

Passo 2

Escolhemos o vértice A e formamos os vetores
AB = B - A = (0-1,;1-1,;5-0) = (-1,,0,,5),
AC = C - A = (1-1,;1-1,;2-0) = (0,,0,,2)
A fórmula da área é
Área(triang<= ABC) = tfrac12l|ABtimesACr| Á

Passo 3

Calculamos o produto vetorial
ABtimesAC = i & j & k -1 & 0 & 5 0 & 0 & 2 = l(0cdot2 - 5cdot0,;5cdot0 - (-1)cdot2,;-1cdot0 - 0cdot0r) = (0,;2,;0)

Passo 4

A magnitude desse vetor é
l|(0,2,0)r| = raiz0^2 + 2^2 + 0^2 = 2
Logo a área do triângulo é
Área(triang<= ABC) = tfrac12 times 2 = 1 Á

Resposta

A área do triângulo triang<= ABC é 1.

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