Resolva os exercícios abaixo utilizando as definições e propriedades do produto vetorial e do produto misto. Justifique todas as respostas.
Calcule a área do triângulo triang<= A B C sabendo que os pontos A, B e C são dados por:
A=(1,1,-4), B=(0,2,1), C=(2,0,2)

Passo 1

O enunciado pede a área do triângulo triang<= ABC em R^3, sabendo as coordenadas
A = (1,1,-4), B = (0,2,1), C = (2,0,2)
O conteúdo aqui é usar o produto vetorial para obter a área do paralelogramo gerado por dois vetores lados e, em seguida, lembrar que a área do triângulo é metade da área desse paralelogramo.

Passo 2

Vamos formar dois vetores que saem de A até B e de A até C:
AB = B - A = (0-1,;2-1,;1-(-4)) = (-1,,1,,5),
AC = C - A = (2-1,;0-1,;2-(-4)) = (1,,-1,,6)

Passo 3

Pela definição do produto vetorial em coordenadas,
ABtimes AC = i & j & k -1 & 1 & 5 1 & -1 & 6
Calculando por componentes:
ABtimes AC = l(1cdot6 - 5cdot(-1),;5cdot1 - (-1)cdot6,;(-1)cdot(-1) - 1cdot1r) = (6+5,;5+6,;1-1) = (11,,11,,0)

Passo 4

O módulo de ABtimes AC é
l|ABtimes ACr| = raiz11^2 + 11^2 + 0^2 = raiz121+121 = raiz242 = 11raiz2

Passo 5

Sabendo que l|ABtimes ACr| é a área do paralelogramo formado por AB e AC, concluímos que a área do triângulo é metade disso:
Área(triang<= ABC) = 12,l|ABtimes ACr| = 12cdot 11raiz2 = 11raiz22 Á

Resposta

Área(triang<= ABC) = 11raiz22 Á

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